§ Thách Thức (Số 1)

Secrets of Mathematical Principles
Jun, 04 2026

Tải bản PDF

Bài 1

Ban đầu trên bảng có $100$ số $1$. Mỗi bước bạn An chọn một số $a$ bất kỳ trên bảng sau đó xóa đi và thay thế bởi bốn số $\frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a}{4}, \frac{a}{4}$. Chẳng hạn, nếu chọn số $1$ thì An sẽ thay thế bởi bốn số $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$.

• a) Hãy chỉ ra một cách thực hiện để sau hữu hạn bước, trên bảng không có $77$ số giống nhau.
• b) Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho bất kể bạn An chọn số như thế nào thì sau mỗi bước, trên bảng luôn tồn tại ít nhất $k$ số giống nhau.

Bài 2

Bên trong một đường tròn có bán kính bằng $11$, cho $7$ điểm phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất $2$ điểm trong $7$ điểm đó có khoảng cách nhỏ hơn $11$.

Bài 3

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x \cdot y \cdot z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \[ P = \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + x)(1 + z)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \] (Lưu ý: Mẫu số của phân số thứ ba đã được sửa lại thành $(1+x)(1+y)$ cho đúng tính đối xứng đối với bài toán này).

Bài 4

Cho $\langle a_n \rangle_{n \ge 1}$ và $\langle b_n \rangle_{n \ge 0}$ là hai dãy số được xác định bởi:

• $a_1 = 1$ và $a_n = a_{n-1} + 2n - 1, \quad (n \ge 2)$
• $b_0 = 2, b_1 = 3$ và $b_n = 3b_{n-1} - 2b_{n-2}, \quad (n \ge 2)$

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $a_n$ chia hết cho $b_n$.

Bài 5

Giả sử tồn tại số tự nhiên $a$ thỏa mãn $\varphi\left(a^4 + 1\right) = 8a$.

• a) Chứng minh $a$ là số chẵn.
• b) Chứng minh rằng $a^4 + 1$ là số square-free (số không có ước chính phương).
• c) Tìm tất cả các giá trị của $a$ thỏa mãn.

Bài 6

Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $n$ là một số nguyên dương đủ lớn. Xét đa thức $P(x_1, x_2, \dots, x_p)$ gồm $p$ biến với hệ số nguyên, không chứa hạng tử tự do và không chia hết cho đa thức tổng $(x_1 + x_2 + \dots + x_p)$. Biết rằng với mọi bộ $p$ số nguyên $(a_1, a_2, \dots, a_p)$ đôi một phân biệt thỏa mãn: \[ \sum_{i=1}^{p} a_i \equiv 0 \pmod{p^n} \] ta luôn có: \[ P(a_1, a_2, \dots, a_p) \equiv 0 \pmod{p^n} \]

Chứng minh rằng bậc của đa thức $P$ phải thỏa mãn: $\deg P \ge p - 1$.

─── END ───