Secrets of Mathematical Principles
"Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas." ~ Albert Einstein
Lộ Trình Số Học Olympic — Chinh Phục VMO
Sơ đồ Metro trực quan từ Hệ thặng dư, Bổ đề LTE, Căn nguyên thủy đến Phương trình nghiệm nguyên và Đa thức số học, kèm bài tập phân dạng chi tiết.
Khám Phá Lộ Trình ↗Tổng Quan Về Kì Thi Hình Học Iran (IGO)
Tổng quan hệ thống đề thi và gợi ý giải Kỳ thi Hình học Iran (IGO) từ 2017 đến 2025 cho cả 3 khối Elementary, Intermediate, Advanced.
READ MOREHàm Phi Euler
Chuyên đề Hàm phi Euler: Định nghĩa, tính chất nhân tính, hệ thức Gauss và 14 bài toán chọn lọc nâng cao Olympic.
READ MORETổng hợp Số Học TST Tỉnh 2026
Tuyển tập và phân loại toàn bộ 43 bài toán Số học từ các kỳ thi chọn đội tuyển HSGQG (TST Tỉnh) năm học 2026-2027 trên cả nước.
READ MOREƯớc Nguyên Tố Của Dãy Số
Cho dãy số nguyên dương $(u_n)$ không là dãy hằng và thỏa mãn $(u_m - u_n)$ chia hết cho $(m - n)$, với mọi số nguyên dương $m, n$ phân biệt.
Chứng minh rằng: Tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong các phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy số $(u_n)$ là vô hạn.
Giả sử chỉ có hữu hạn ước nguyên tố xuất hiện trong phân tích tiêu chuẩn của các số hạng của dãy \((u_n)\), đó là:
\[ S = \{p_1, p_2, \ldots, p_s\}. \]Trước hết ta viết \(u_1 = \prod_{i = 1}^s p_i^{\alpha_i}\), trong đó \(\alpha_i \in \mathbb{N}, \; \forall i = \overline{1, s}\). Đặt \(P = \prod_{i = 1}^s p_i^{\alpha_i + 1}\). Theo giả thiết bài toán:
\[ P \mid (kP + 1) - 1 \mid u_{kP + 1} - u_1 \implies v_p(u_{kP + 1} - u_1) \ge v_p(P) = \alpha + 1, \]trong đó \(p \in S\) và ứng với \(u_1\) có số mũ tương ứng là \(\alpha\), tức \(p^\alpha \parallel u_1 \implies p^{\alpha+1} \parallel P\). Giả sử \(v_p(u_{kP + 1}) \neq v_p(u_1)\), dẫn đến:
\[ \alpha + 1 \le v_p(u_{kP + 1} - u_1) = \min\{v_p(u_{kP + 1}), v_p(u_1)\} \le v_p(u_1) \le \alpha. \]Đây là một mâu thuẫn hiển nhiên.
Như vậy với mọi \(p \mid u_1 \implies v_p(u_{kP + 1}) = v_p(u_1)\), mà \(u_{kP + 1}\) cũng chỉ chứa các ước nguyên tố trong \(S\). Do đó:
\[ u_{kP + 1} = u_1, \quad \forall k \in \mathbb{Z}^+. \]Với mỗi chỉ số \(n\), xét:
\[ kP + 1 - n \mid u_{kP + 1} - u_n = u_1 - u_n, \]cho \(k \to +\infty\), ta buộc phải có \(u_n = u_1\). Nói cách khác \((u_n)\) là dãy hằng, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Vậy giả sử phản chứng là sai, suy ra tập hợp các số nguyên tố xuất hiện trong phân tích thừa số nguyên tố của các số hạng của dãy \((u_n)\) là vô hạn. $\blacksquare$