Trường ĐHKHTN - THPT Chuyên KHTN - Năm học 2025-2026
Thời gian làm bài: 120 phút (Môn Toán chung)
Câu I.
Giải phương trình
$$
\frac{x^2+6x+5}{\sqrt{x^2+3}}=3\sqrt{3x+1}
$$
Giải hệ phương trình
$$
\begin{cases}
x^3+x^2y+x+y=20\\
xy(x^2+1)+4x^2=36
\end{cases}
$$
Câu II.
Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn
$$
x^3-y^3=2xy+1
$$
Với các số thực dương $a,b$ có tổng bằng $2$, tìm giá trị nhỏ nhất của
$$
P=\frac{a^3}{b(a^3+b)}+\frac{b^3}{a(b^3+a)}
$$
Câu III.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ với đường kính $AX$.
$M$ là trung điểm $BC$.
Trên đoạn $AM$ lấy điểm $P$ sao cho $\angle BPC=90^\circ$.
Đường thẳng qua $P$ vuông góc $AP$ cắt $XB,XC$ theo thứ tự tại $E,F$.
Gọi $N$ là trung điểm $EF$, $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $M$.
Chứng minh rằng $\angle EAB+\angle FAC=90^\circ$.
Chứng minh rằng $XN\perp BC$.
Chứng minh rằng $\angle EDF=90^\circ$.
Câu IV.
Một chiếc bánh sinh nhật được cắt thành $9$ phần (khối lượng mỗi phần có thể khác nhau).
Chứng minh rằng ta luôn có thể chọn một phần và cắt nó thành $2$ phần mới sao cho $10$ phần bánh có thể chia thành hai nhóm, mỗi nhóm gồm $5$ phần, và tổng khối lượng hai nhóm bằng nhau.