Số Học trong đề thi khảo sát năng lực Lớp 9

Cách 1. Biến đổi hằng đẳng thức để đơn giản hóa bài toán \[ x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2 ) = (x-y)\cdot [(x-y)^2 + 3 xy ] \] Đặt \((x - y) = z\) và \(xy = t\), ta được phương trình \[ z \cdot (z^2 + 3t) = 2t + 1 \] Ta đưa \(z\) và \(t\) về từng vế, hay \[ \frac{z^3 - 1 }{2-3z} = t \in \mathbb{Z} \] Ta cố gắng giản ước \[ \begin{aligned} & 3z-2 \mid z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1) \mid (3z - 3)(3z^2 + 3z + 3) \\ \Longrightarrow\;& 3z - 2 \mid 3z^2 +5 \\ \Longrightarrow\;& 3z-2 \mid 3z^2 +5 - z(3z-2) \\ \Longrightarrow\;& 3z - 2 \mid 2z+5 \\ \Longrightarrow\;& 3z - 2 \mid 3(2z+5) - 2(3z+2) = 11 \\ \Longrightarrow\;& 3z - 2 \in \{\pm 1, \pm 11\} \end{aligned} \] Suy ra \(3z - 2 \in \{\pm 1, \pm 11\}\) hay \(z \in \{1, -3\}\) suy ra \(t \in \{0\}\). Ta thu được hệ phương trình \[ xy = 0, \quad x-y=1 \] \[ x = 1, y = 0 \quad \text{hoặc} \quad x=0, y=-1 \]

Cách 2. Dùng đại số để đánh giá, theo đó ta có \[ 2xy + 1 \;\vdots \; x^2 + xy + y^2 \] Rõ ràng \(2xy + 1 \neq 0\) nên \[ 2xy + 1 \ge x^2 + xy + y^2 \ge xy + 2|xy| \] Như vậy \[ xy + 1 \ge 2|xy| \ge 0 \] \[ \Longrightarrow xy \ge -1 \] Nếu \(xy = -1\) thì ta có \(0 > 1\), vô lý. Suy ra \(xy \ge 0\) nên \[ 1 \ge xy \] Vậy \[ xy \in \{1,0\} \]

Cách 3. Đặt \(x = y+a\), ta có \[ \begin{aligned} & (y+a)^3 - y^3 = 2(y+a)y + 1 \\ \Longrightarrow\;& a^3 + 3ya^2 + 3y^2a = 2y^2 + 2ay + 1 \\ \Longrightarrow\;& (3a - 2)y^2 + (3a^2 - 2a)y + (a^3 -1) = 0 \end{aligned} \] Khi đó \[ \Delta = (3a^2 - 2a)^2 - 4(a^3 - 1)(3a - 2) \] \( = -3a^4 - 4a^3 + 4a^2 + 12a - 8 \ge 0 \) suy ra \( (a - 1)(-3a^3 - 7a^2 -3a + 9) + 1 \ge 0 \)

• Nếu \(a = 1\) thì thỏa mãn.
• Ta có \[ -3a^3 - 7a^2 -3a + 9 = (a-1)(-3a^2 -10a -13) - 4 \]
• Nếu \(a < 1\) thì chứng minh \[ -3a^3 - 7a^2 -3a + 9 > 0 \] Ta có \[ \Delta_{(-3a^2 -10a -13)} < 0 \] suy ra \[ -3a^2 -10a -13 < 0 \] và \[ -3a^2 -10a -13 \le 1 \] Từ đó \[ (a-1)(-3a^2 -10a -13) > 4 \]
• Nếu \(a > 1\) thì xử lý tương tự.

Nhìn chung cách này nếu có máy tính thì sẽ nhẹ nhàng hơn, nếu không chúng khá phức tạp.