Tải bản PDF

---

Câu I.

1) Giải hệ phương trình

\[ \begin{cases} 3x^2 + 2xy + 3y^2 = \dfrac{16}{x} + \dfrac{11}{y} \\[6pt] x^2 - y^2 = \dfrac{11}{y} - \dfrac{16}{x} \end{cases} \]

2) Giải phương trình

\[ (x^2+x+1)\!\left(\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1\right)=4 \]

Câu II.

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x,\,y)\) thỏa mãn

\[ x^4 + 4x + 1 = 5^y \]

2) Với \(a,b,c>0\) và \(a+b+c=3\). Tìm giá trị lớn nhất của

\[ Q = \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2} +\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2} +\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2} \]

Câu III.

Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)) nội tiếp \((O)\), trực tâm \(H\), đường cao \(AD\). \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CA,AB\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(HM\) cắt \(BC\) tại \(X\). \(AO\) cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADN,\,ADP\) lần lượt tại \(T,Z\).

1. Chứng minh \(T\) nằm trên \(MN\) và \(Z\) nằm trên \(MP\).
2. Chứng minh tiếp tuyến tại \(T\) của đường tròn ngoại tiếp \(\triangle ADN\) và tiếp tuyến tại \(Z\) của đường tròn ngoại tiếp \(\triangle ADP\) cắt nhau tại một điểm nằm trên \(AD\).
3. Chứng minh đường tròn đường kính \(MX\) tiếp xúc với các đường tròn ngoại tiếp \(\triangle ADN\) và \(\triangle ADP\).

Câu IV.

Trong mỗi ô của bảng \(2\times200\) có đặt một đồng xu. Hai bạn An và Bình chơi một trò chơi, luân phiên thực hiện nước đi, An đi trước.

• An di chuyển xu sang ô chung đỉnh (đường chéo).
• Bình di chuyển sang ô chung cạnh.

Nếu hai đồng xu nằm cùng một ô thì một đồng xu được lấy khỏi bảng và thuộc về Bình. Bình có thể dừng trò chơi bất cứ lúc nào và lấy tất cả số xu đã thu được.

Hỏi số xu tối đa Bình có thể nhận được là bao nhiêu, bất kể An chơi như thế nào?

─── HẾT ───