Tải bản PDF

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức $A = \dfrac{2x - \sqrt{x} + 2}{x-4} + \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ với $x \ge 0, x \neq 4$.

a) Rút gọn biểu thức $A$.

b) Tìm $x$ sao cho $A > 1$.

Câu 2. (1,0 điểm)

Giải phương trình: $$\dfrac{5x}{\sqrt{5x+1}-1} = x + 2.$$

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho đa thức $f(x)$ có hệ số thực. Biết khi chia $f(x)$ cho $x-4$ có dư là 10 và khi chia $f(x)$ cho $x-5$ có dư là 8. Khi chia $f(x)$ cho $(x-4)(x-5)$ được thương là $g(x)$ và có dư là $r(x)$. Tìm $r(x)$.

Câu 4. (1,0 điểm)

Câu 5. (2,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm $O$ có đường kính $BC = 6\text{ cm}$. Gọi $H$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $OB$ ($H$ không trùng với $O$ và $B$). Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $H$ cắt nửa đường tròn đã cho tại $A$. Gọi $G$ là trung điểm của $AC$.

a) Chứng minh rằng $A, G, O, H$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

b) Gọi $D$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $HD = HA$. Đường thẳng $DH$ cắt các đường thẳng $AB, AO$ lần lượt tại $E, I$. Gọi $K$ là giao điểm $AH$ và $EC$, $F$ là giao điểm $AO$ và $BD$. Chứng minh rằng: $AE^2 = 2 \cdot EI \cdot HD$ và tam giác $AKE$ đồng dạng với tam giác $AFD$.

c) Gọi $BH = x$. Tìm $x$ để diện tích của tứ giác $ABKC$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6. (1,0 điểm)

Cho số nguyên tố $p > 5$. Chứng minh rằng $A = 6^p - 5^p - 1$ chia hết cho $5p$.

Câu 7. (1,0 điểm)

Bên trong một đường tròn có bán kính bằng 11, cho 7 điểm phân biệt. Chứng minh rằng có ít nhất 2 điểm trong 7 điểm đó có khoảng cách nhỏ hơn 11.

Câu 8. (0,5 điểm)

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x.y.z = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $$P = \dfrac{x^3}{(1+y)(1+z)} + \dfrac{y^3}{(1+x)(1+z)} + \dfrac{z^3}{(1+x)(1+y)}.$$

─── HẾT ───