Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk Lắk
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (3,00 điểm)
a) Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn: $\begin{cases} x+y=7 \\ x^2y+xy^2=-21 \end{cases}$. Tính giá trị các biểu thức sau:
$M = xy; \quad N = x^2+y^2; \quad P = x^3+y^3; \quad Q = |x-y|.$
b) Giải phương trình $\sqrt{3x+3} + \sqrt{x^2+5} + 4x^2 + 2x = 26$.
c) Với $x$ là số thực và $x \ge 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A = 4x^2 - 19x + 58 + 5\sqrt{x+1}.$
Câu 2. (2,00 điểm)
a) Tìm đa thức bậc ba $P(x)$ với hệ số nguyên, biết đa thức $P(x)$ có nghiệm $x=1, P(-1)=-4$ và $P(1-\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}$.
b) Cô giáo mang lên lớp hai chiếc hộp, trong mỗi hộp chỉ có bi màu xanh và bi màu đỏ, mỗi hộp đựng không quá 20 viên bi. Cô gọi bạn An lên thực nghiệm, An sẽ kiểm kê số lượng và màu sắc bi trong hộp thứ nhất, rồi tính xác suất bốc được bi xanh khi bốc ngẫu nhiên 1 viên trong hộp này. Cô cũng gọi bạn Bình lên thực hiện tương tự như vậy đối với hộp thứ hai. Biết rằng hai bạn đều tính đúng và tổng xác suất tính được của hai bạn là $\dfrac{142}{143}$. Hỏi trong cả hai hộp có bao nhiêu viên bi xanh?
Câu 3. (1,50 điểm) Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) vuông tại $A$ có đường phân giác $AD$. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $D$ đến $AB$ và $AC$. Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và $BF$, $K$ là giao điểm của $CE$ và $DF$. Chứng minh rằng:
a) $\dfrac{IE}{ID} = \dfrac{EB}{EA}$.
b) $IK$ song song với $BC$.
c) $AK$ vuông góc với $BF$.
Câu 4. (1,50 điểm) Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau ở $K$. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $E$ ($E \neq B, C$). Đường thẳng $KE$ cắt các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABK$ và $CDK$ lần lượt tại $G, H$ ($G, H \neq K$) và cắt đường tròn $(O)$ tại $F$ ($F \neq E$). Chứng minh rằng:
a) Tam giác $ADF$ đồng dạng với tam giác $AEG$.
b) $EG = HF$.
Câu 5. (1,00 điểm) Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương, trong đó $a, b$ là hai số nguyên tố cùng nhau và $(a^2b + ab^2 + c^3)$ chia hết cho $ac$. Chứng minh rằng số $a$ là lũy thừa bậc 3 của một số nguyên dương.
Câu 6. (1,00 điểm) Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 3$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2+ab}{b^2+3} + \dfrac{b^2+bc}{c^2+3} + \dfrac{c^2+ca}{a^2+3} \le \dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) + \dfrac{1}{2}.$
─── HẾT ───