Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Đà Nẵng
Thời gian làm bài: 150 phút (Dành cho thí sinh thi vào các trường THPT chuyên)
Cho biểu thức: $$P = \left( \dfrac{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} + \dfrac{3\sqrt{b}}{\sqrt{a}+4\sqrt{b}} - \dfrac{7\sqrt{ab}+10b}{a+4b+5\sqrt{ab}} \right) \cdot \dfrac{a+12b+7\sqrt{ab}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}, \text{ với } a, b > 0.$$
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Khi $P$ là số nguyên, tính giá trị biểu thức $Q = \dfrac{a+2025b}{a+2026b}$.
Hai bạn An và Bình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên một đỉnh của lục giác đều $ABCDEF$ cạnh $a$.
a) Mô tả không gian mẫu và các kết quả thuận lợi của biến cố $M$: "Bạn An và bạn Bình chọn được hai đỉnh trùng nhau".
b) Tính xác suất của biến cố $N$: "Bạn An và bạn Bình chọn được hai đỉnh mà khoảng cách giữa chúng bằng $a\sqrt{3}$".
a) Giải phương trình: $\sqrt{3}(x^2-x) = \sqrt{3x^2-2x-1}$.
b) Tại một Trường Trung học cơ sở A, khối lớp 8 có số học sinh nam gấp 3 lần số học sinh nữ; khối lớp 9 có số học sinh nam gấp 6 lần số học sinh nữ. Nếu tính chung cả hai khối thì tổng số học sinh là 750 và tổng số học sinh nam gấp 4 lần tổng số học sinh nữ. Hỏi khối lớp 8, khối lớp 9 ở Trường A, mỗi khối có bao nhiêu học sinh?
a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tìm tất cả các số thực âm $a$ để parabol $(P): y=x^2$ cắt đường thẳng $d_1: y=x-a$ tại hai điểm có hoành độ $x_1, x_2$ và cắt đường thẳng $d_2: y=2x-3a$ tại hai điểm có hoành độ $x_3, x_4$ thỏa mãn: $$\dfrac{1}{x_1-x_3} + \dfrac{1}{x_2-x_3} + \dfrac{1}{x_1-x_4} + \dfrac{1}{x_2-x_4} = \dfrac{1}{3}.$$
b) Tồn tại hay không các số nguyên dương $x, y$ sao cho giá trị biểu thức $\dfrac{x^2+x-2}{y^2+2y}$ là bình phương của một số nguyên tố? Vì sao?
Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC < BC$), có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên đường thẳng $BI$.
a) Chứng minh rằng $2 \cdot \widehat{PIC} + \widehat{BAC} = 180^\circ$ và ba điểm $P, E, F$ thẳng hàng.
b) Tia $DI$ cắt các đường thẳng $EF, PC$ lần lượt tại $L, K$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC, IK$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $EF$ và $\dfrac{DI}{DN} + \dfrac{NL}{NI} = 1$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Dựng hình bình hành $ABDC$. Trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ sao cho tia $DM$ nằm giữa tia $DA$ và tia $DC$. Đường thẳng qua $M$, song song với đường thẳng $AC$, cắt cạnh $AB$ tại $P$ và đường thẳng qua $M$, song song với đường thẳng $AB$, cắt cạnh $AC$ tại $Q$. Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ tại $F$ ($F$ khác $A$). Chứng minh rằng tam giác $MBC$ đồng dạng tam giác $PMA$ và $AM$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MDF$.
─── HẾT ───