Tải bản PDF

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số thực $(x; y)$ thỏa mãn $x+y = x^2+y^2 = x^4+y^4$.

b) Giải phương trình $2(x^2 - x + 1)^2 + 3x^2 = 2(x^2 + x + 1)^2 + 3(x^2 + 1)^2$.

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Cho đa thức $P(x) = x^{2027} + ax^6 + bx$. Tìm tất cả các số nguyên $a, b$ để $P(x)$ chia hết cho 2027 với mọi số nguyên $x$.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $1 + 2^p + 3^p$ là số chính phương.

Câu 3 (2,0 điểm). Xét 3 số nguyên $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{a+b+c}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2$.

Câu 4 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ có các đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$. Điểm $M$ di động trên cạnh $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ cắt $AM$ tại điểm thứ hai là $N$.

a) Chứng minh rằng $AM \cdot AN = AB \cdot AF$.

b) Chứng minh rằng $HN$ vuông góc với $AM$.

c) Kẻ $MI, MJ$ lần lượt là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMF, CME$. Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $MH$ cắt $IJ$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ luôn thuộc một đường thẳng cố định khi $M$ di động trên cạnh $BC$.

Câu 5 (3,0 điểm). Nhân dịp kỷ niệm 60 năm ngày thành lập trường, các bạn học sinh lớp 10 chuyên Toán - Tin cùng nhau làm một logo trang trí. Logo là mô hình số 60 được gắn đèn led tại 12 vị trí ô tròn cùng dây nối như hình bên.

a) Trên mô hình số 6, ở mỗi vị trí ô tròn được lắp một bóng đèn có màu được chọn ngẫu nhiên là một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để không có hai bóng đèn kề nhau cùng màu (hai bóng đèn kề nhau là 2 bóng đã được nối với nhau bởi một đoạn dây không đi qua bóng đèn khác).

b) Sau khi đã gắn xong 12 bóng đèn led gồm 3 bóng màu xanh, 4 bóng màu đỏ và 5 bóng màu vàng vào 12 vị trí ô tròn trên mô hình số 60, các bạn học sinh cài đặt chương trình đổi màu cho các bóng đèn. Chương trình đổi màu là mỗi lần chọn 2 bóng khác màu rồi cùng được đổi sang màu còn lại. Hỏi có lúc nào đó cả 12 bóng đèn cùng một màu hay không?

─── HẾT ───