Tải bản PDF

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức $A = \dfrac{x + 3\sqrt{x} - 10}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+3)} + \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}$ với $x \ge 0, x \neq 4$.

1. Rút gọn biểu thức $A$.

2. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $A = 3$.

Bài 2: (3,0 điểm)

1. Bác An đi chợ mua trứng vịt muối hết 120 nghìn đồng. Người bán thấy trứng nhỏ nên đã chủ động cho thêm 4 quả trứng vịt muối. Do đó giá mỗi quả trứng đã giảm đi 1 nghìn đồng. Tìm số trứng vịt muối ban đầu bác An mua.

2. Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 4(x-y) \\ \sqrt{x-2} - \sqrt{3y-x+3} = 1-x \end{cases}$$

Bài 3: (3,0 điểm)

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = x + m^2 + 1$ ($m$ là tham số).

1. Chứng minh rằng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

2. Gọi $x_1, x_2$ lần lượt là hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $x_1^2 + x_2 = 11$.

Bài 4: (2,0 điểm)

Trong hộp gồm 100 lá thăm kích thước như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên một lá thăm trong hộp. Gọi $A$ và $B$ là hai biến cố thỏa $A$: "Số ghi trên lá thăm chia hết cho 3" và $B$: "Số ghi trên lá thăm vừa chia hết cho 3 vừa chia cho 5 dư 1".

1. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$.

2. Tính xác suất biến cố $B$.

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho $n$ là số nguyên dương và phương trình nghiệm nguyên $(2x - y)(x + y) = n$.

1. Giải phương trình với $n = 5$.

2. Tìm số nghiệm nguyên của phương trình khi $n = 630$.

Bài 6: (4,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E, F$ (điểm $F$ thuộc cung nhỏ $BC$). Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $AF$.

1. Chứng minh rằng $FB^2 = FD \cdot FA$.

2. Đường tròn tâm $F$ bán kính $FB$ cắt $AF$ tại $I$. Gọi $H$ (khác $E$) là giao điểm của $EI$ và $(O)$, $T$ là giao điểm của $FH$ và $BC$. Chứng minh rằng $\widehat{FBH} = \widehat{FTB}$.

3. Chứng minh rằng bốn điểm $A, D, H, T$ cùng thuộc một đường tròn và $\widehat{TIF} = 90^\circ$.

Bài 7: (2,0 điểm)

─── HẾT ───