Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I (2,0 điểm)
1) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 125. Tính xác suất của biến cố $A$: "Số được chọn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương liên tiếp".
2) Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn đồng thời $a+b+c=0$ và $a^2+c^2 - 4bc - 2b + 2 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $M = abc$.
Câu II (2,0 điểm)
1) Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn tồn tại các số nguyên dương $a, b, c$ sao cho $n = \dfrac{a^2+b^2+c^2+1}{abc}$. Chứng minh $n$ chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8.
2) Tìm tất cả cặp số tự nhiên $(x; y)$ thỏa mãn $\dfrac{x^3+3}{x+2} = \dfrac{4y^2}{2y+1}$.
Câu III (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(n; p)$ thỏa mãn đồng thời $p$ là số nguyên tố và $4n^2 + p^3 + 4p^2 - 8p - 32$ chia hết cho $np + 4n$.
2) Với $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=2$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{bc+2a+1}{a^2+1} + \dfrac{ca+2b+1}{b^2+1} + \dfrac{ab+2c+1}{c^2+1}$.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ cân tại $A$, có đường cao $AH$. Lấy điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AH$ sao cho $OH > OA$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$ tại điểm thứ hai $T$. Lấy điểm $E$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AE > AT$. Đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $N$.
1) Chứng minh bốn điểm $A, E, N, C$ cùng thuộc một đường tròn.
2) Đường thẳng qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $BC$ cắt đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ tại điểm $K$. Gọi $F$ là trung điểm của đoạn thẳng $ET$. Chứng minh $\widehat{OFK} = 90^\circ$.
3) Chứng minh đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$, đường tròn đường kính $NK$ và đường thẳng $TK$ cùng đi qua một điểm.
Câu V (1,0 điểm)
Xét số nguyên dương $n$ và tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_n = 2000$.
ii) Với mọi số tự nhiên $k$, $2 \le k \le n$, tồn tại các số nguyên dương $i, j$ nhỏ hơn $k$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $a_k = a_i + 4a_j$.
1) Chứng minh tất cả các phần tử của tập hợp $S$ đều là số chẵn.
2) Tìm giá trị lớn nhất của $n$.
─── HẾT ───