Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I (2,0 điểm)
1) Một hộp chứa 4 viên bi có cùng kích thước và khối lượng như nhau gồm: bi màu xanh, bi màu đỏ, bi màu tím và bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi trong hộp. Tính xác suất của biến cố $A$: "Lấy được 2 viên bi trong đó có viên bi màu xanh".
2) Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $2a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ac - 2bc = 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{a}{2a+1} + \dfrac{b}{2b+1} + \dfrac{1}{c+1}$.
Câu II (2,0 điểm)
1) Với $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^3 - b^3$ là số nguyên tố. Chứng minh $a^3 - b^3 + 2027$ chia hết cho 6.
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn $3^x - 1 = 2 \cdot 13^y$.
Câu III (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab = 6c^2$ và $\dfrac{a^3+b^3+27c^3}{2}$ là số nguyên tố.
2) Với $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c = 3$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \dfrac{a^2}{bc+2a+3} + \dfrac{b^2}{ca+2b+3} + \dfrac{c^2}{ab+2c+3}$.
Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Đường thẳng $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $E, F$ ($ME < MF$). Kẻ đường thẳng qua $E$ vuông góc với đường thẳng $AC$ tại điểm $D$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $HE$.
1) Chứng minh tam giác $BAF$ đồng dạng với tam giác $MDC$.
2) Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Đường thẳng $QF$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $T$. Chứng minh điểm $S$ thuộc đường thẳng $MD$ và $\widehat{TSO} = 90^\circ$.
3) Đường thẳng qua $S$ vuông góc với đường thẳng $BS$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $P$. Chứng minh $PA = PF$.
Câu V (1,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương $n$ ($n \le 99$), xét 100 số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_{100}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) $1 < a_1 < a_2 < a_3 < \dots < a_{100}$.
ii) Với mọi $1 \le j < i \le 100$ thì $a_i - a_j \neq n$.
1) Khi $n = 2$, chứng minh $a_3 - a_1 \ge 4$.
2) Tìm tất cả giá trị của $n$ để $a_{100}$ nhỏ nhất.
─── HẾT ───