Tải bản PDF

I- PHẦN GHI KẾT QUẢ (3 điểm)

Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi. Mỗi câu trả lời đúng 0,25 điểm.

Câu 1. Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $\dfrac{13}{3\sqrt{7} + \sqrt{11}} + \dfrac{17}{4\sqrt{7} + 2\sqrt{11}} = a\sqrt{7} + b\sqrt{11}$. Giá trị $a+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn $a - b = 3$. Giá trị của biểu thức $A = a^2(a+1) - b^2(b-1) - 11ab + 6$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 2(m+1)x + (m-2)^3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.

Câu 4. Tìm tất cả các số nguyên $x$ sao cho giá trị của biểu thức $x^2 - x + 6$ là một số chính phương.

Câu 5. Cho đa thức $P(x) = 4x^3 + ax + b$. Biết rằng $P(x)$ chia hết cho các đa thức $x-2$ và $x+1$. Giá trị của $M = 2a - 5b$ bằng bao nhiêu?

Câu 6. Cho $\alpha$ là góc nhọn thỏa mãn $\sin\alpha - 3\cos\alpha = 0$. Giá trị của biểu thức $A = \dfrac{\sin^3\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha + 3\cos^3\alpha}$ bằng bao nhiêu?

Câu 7. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ($H$ thuộc cạnh $BC$). Biết rằng $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4}$ và $BC = 15 \text{ cm}$. Độ dài đoạn thẳng $CH$ bằng bao nhiêu?

Câu 8. Cho đường thẳng $(d): y = ax+b$ đi qua điểm $I(1; 2)$. Tìm các số thực dương $a, b$ để đường thẳng $(d)$ cắt các trục tọa độ $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ cân.

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d): y = 2mx + m^2 - m - 5$ cắt parabol $(P): y = x^2$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho ba điểm $A, B$ và $C(1; -3)$ thẳng hàng.

Câu 10. Cho hình thoi $ABCD$ có cạnh bằng $6 \text{ cm}$, góc $\widehat{BAD} = 60^\circ$, lấy điểm $A$ và điểm $C$ làm tâm, vẽ các cung tròn có cùng bán kính bằng $6 \text{ cm}$. Diện tích phần tô đậm giới hạn bởi hai cung tròn bằng bao nhiêu?

Câu 11. Một bể cá cảnh hình trụ có bán kính đáy bằng $20 \text{ cm}$, người ta cho vào bể cá một viên đá trang trí thì thấy mực nước trong bể cá dâng lên $2 \text{ cm}$. Hỏi viên đá cảnh đó có thể tích bằng bao nhiêu?

Câu 12. Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4$. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập $S$. Tính xác suất để số lấy được chia hết cho 3.

II- PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm)

Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi.

Câu 13 (2 điểm).

a) Giải phương trình $\sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = x^2 + x - 3$.

b) Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2 - y^2 + 2xy - 6y = 1 \\ x(2x^2 - x - 2) - x^2y - 5y = -1 \end{cases}$

Câu 14 (1 điểm). Tìm tất cả cặp số tự nhiên $(x; y)$ thỏa mãn $2^y \cdot y^2 = 36x^2 + 12x + 16$.

Câu 15 (2 điểm). Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Gọi $A$ là giao điểm của $MO$ và đường tròn $(O; R)$ ($A$ nằm giữa $M$ và $O$), từ điểm $M$ vẽ đường thẳng cắt đường tròn $(O; R)$ tại hai điểm phân biệt $N$ và $P$ ($N$ nằm giữa $M$ và $P$, $N$ khác $A$), đường thẳng đi qua $N$ và vuông góc với $MP$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O; R)$ tại điểm $I$. Vẽ tiếp tuyến $IB$ với đường tròn $(O; R)$, tiếp điểm $B$ khác $A$ và $P$. Gọi $F$ là giao điểm của đường thẳng $MP$ và đường thẳng $OB$.

a) Chứng minh $MN \cdot MP = MO^2 - R^2$ và $\Delta MIF \sim \Delta BNA$.

b) Gọi $(O')$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIF$ tâm $O'$ khác $O$, đường thẳng $OO'$ cắt $MP$ tại $J$. Chứng minh $IO' \perp IJ$.

Câu 16 (1 điểm). Cho $a, b, c$ là 3 số thực dương và thỏa mãn $abc = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \dfrac{a^2+1}{(a+1)^2} + \dfrac{b^2+1}{(b+1)^2} + \dfrac{c^2+1}{(c+1)^2} + \dfrac{1}{ab+bc+ca+1} \]

Câu 17 (1 điểm).

a) Cho $a, b$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $a \ge 2$ thì giá trị của biểu thức $P = a^2b^2 - 2a - b$ không phải là một số chính phương.

b) Cắt một tờ giấy hình chữ nhật theo một đường thẳng, được hai mảnh. Lấy một trong các mảnh đó, cắt theo một đường thẳng được hai mảnh, và làm tiếp như vậy nhiều lần. Hỏi cần phải cắt ít nhất bao nhiêu lần để được 16 hình lục giác?

─── HẾT ───