Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh
Thời gian làm bài: 150 phút
1.1. Cho các số thực $a, b$ thỏa mãn điều kiện $\sqrt{a + 2b} + \sqrt{a - 2b} = 2$. Tính giá trị biểu thức $P = (a - 1 - b^2)^{2026} + (a - 2 - b^2)^{2027}$.
1.2. Tìm tất cả các số thực $a, b$ sao cho $a$ và $b$ là nghiệm của phương trình:
$x^2 - (2ab - 4)x + a^3 + b^3 - 12 = 0$.
2.1. Trong giờ luyện tập, thầy giáo viết lên bảng phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$. Hai bạn Thanh và Phúc đều chép lại phương trình để giải nhưng sai đề: bạn Thanh chép sai hệ số $a$ nên tìm được hai nghiệm là 4 và 8; bạn Phúc chép sai hệ số $c$ thành số đối của nó nên tìm được 2 nghiệm là $-2$ và 8. Chứng minh phương trình của thầy giáo là vô nghiệm, biết rằng Thanh và Phúc đều giải đúng phương trình mình chép.
2.2. Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 1. Xét điểm $M$ di động trên $BC$ sao cho diện tích $\triangle ABM$ bằng $x$, với $0 < x < \frac{1}{2}$. Lấy điểm $N$ trên đoạn thẳng $CD$ sao cho $\widehat{AMN} = 90^\circ$. Tìm $x$ để diện tích $\triangle BDN$ nhỏ nhất.
3.1. Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia phân giác trong của $\widehat{BAC}$ cắt đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ tại $D$.
a) Chứng minh tứ giác $ABDC$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $H$ là trực tâm $\triangle ABC$. Chứng minh đường tròn tâm $M$ bán kính $MD$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AH$.
3.2. Cho $\triangle ABC$ đều. Trên cạnh $AB$, cạnh $AC$ và tia đối của tia $BA$ lấy các điểm $D, E, F$ sao cho $AD = CE = BF$. Gọi $G$ là trung điểm $DE$. Chứng minh $\widehat{FGC} = 90^\circ$.
4.1. Tìm tất cả số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n + S(n) = 2026$ với $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$.
4.2. Cho $a, b, c$ là các số nguyên thỏa mãn $5a^2 - bc, 5b^2 - ca, 5c^2 - ab$ đều chia hết cho 8. Chứng minh $abc$ chia hết cho 8.
5.1. Một hộp chứa 15 thẻ ghi các số $1; 2; 3; \dots; 14; 15$. Hai bạn An và Bình rút lần lượt mỗi bạn một thẻ từ hộp, An rút trước và không hoàn lại. Gọi $a, b$ lần lượt là số ghi trên thẻ An và Bình rút được. Tính xác suất để cặp số $(a; b)$ thỏa mãn phương trình $x^2 - ax + b = 0$ có nghiệm nguyên.
5.2. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất: trong $n$ số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại một số có tổng các chữ số chia hết cho 7.
─── HẾT ───