Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) năm 2026
Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I (1,0 điểm)
Cho biểu thức $A = \dfrac{3x - \sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{7x + 14\sqrt{x} + 7}{x - 2\sqrt{x} - 3}$ (điều kiện $x \ge 0; x \ne 9$).
Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn $x \ge 0; x \ne 9$ sao cho $\dfrac{A}{\sqrt{x} + 4}$ nhận giá trị nguyên.
Câu II (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): y = 2mx - 3m + 3$ và parabol $(P): y = x^2$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x_1 + 1} + \dfrac{2}{x_2 + 1} = 1$.
2) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} (3x - y - 1)\sqrt{y+1} + 3x - 1 = y\sqrt{3x-y} \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$
Câu III (3,0 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $5(x^2 + xy + y^2) = 7(x + 2y)$.
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho $\dfrac{7^a - 5^b}{8}$ là số nguyên tố.
3) Trên bảng có 2027 số 1. Bạn Đức thực hiện các lần biến đổi như sau:
Lần 1: bạn Đức xóa đi số $a_1$ và số $b_1$ bất kỳ trên bảng sau đó thay bởi số $2\sqrt{a_1 b_1}$.
Lần 2: bạn Đức tiếp tục xóa đi số $a_2$ và số $b_2$ bất kỳ trên bảng sau đó thay bởi số $2\sqrt{a_2 b_2}$.
Bạn Đức tiếp tục thực hiện biến đổi như trên, sau 2026 lần thì trên bảng chỉ còn lại một số. Chứng minh số còn lại trên bảng nhỏ hơn 2027.
Câu IV (3,0 điểm)
1) Một thửa đất có dạng hình thang $ABCD$ với hai cạnh đáy là $AB = 12\text{ (m)}$ và $CD = 20\text{ (m)}$. Trên các cạnh bên $AD$ và $BC$ người ta lần lượt lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $MN$ song song với hai đáy đồng thời $MN$ chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ bên). Tính độ dài của đoạn thẳng $MN$ (đơn vị mét).
2) Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB < AC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt cạnh $BC$ tại $D$ và cắt đường tròn $(O)$ tại $P$ (khác $A$). Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $M$; trên đường thẳng $AO$ lấy điểm $H$ sao cho $HD$ vuông góc với đường thẳng $BC$ tại $D$, trên đường thẳng $AD$ lấy điểm $F$ sao cho $FE$ vuông góc với đường thẳng $BC$ tại $E$.
a) Chứng minh bốn điểm $B, H, C, F$ cùng nằm trên một đường tròn $(\omega)$.
b) Gọi $T$ là giao điểm khác $F$ của $AD$ và $(\omega)$. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác $MTP$ cắt đường thẳng $TH$ tại $Q$ (khác $T$). Chứng minh đường thẳng $QA$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$.
Câu V (1,0 điểm)
Cho các số thực $a, b, c$ phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P = (a^2 + b^2 + c^2) \left[ \dfrac{1}{(a-b)^2} + \dfrac{1}{(b-c)^2} + \dfrac{1}{(c-a)^2} \right]$$─── HẾT ───