Sở Giáo dục và Đào tạo Khánh Hòa
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (2,00 điểm).
a) Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{x}{x - 2\sqrt{x}} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{8}{x - 4}$, với $x \ge 0, x \neq 4$.
b) Cho đa thức bậc ba $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ với hệ số nguyên. Biết $P(\sqrt{5}) = 5$ và $P(\sqrt[3]{5}) = 5\sqrt[3]{5}$. Tính $P(1)$.
Câu 2 (2,00 điểm).
a) Giải phương trình $\sqrt{x^2 + 12} + 5 = 3x + \sqrt{x^2 + 5}$.
b) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích xác định. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm $141 \text{ m}^2$. Nếu giảm chiều dài 4m và giảm chiều rộng 5m thì diện tích giảm đi $230 \text{ m}^2$. Tính diện tích của mảnh vườn.
Câu 3 (1,50 điểm).
a) Tìm tất cả các cặp số $(m, p)$ với $m$ là số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức $p^2 + pm = m^3$.
b) Tìm số tự nhiên $a$ để $(a^2 - 8)^2 + 36$ là số nguyên tố.
Câu 4 (3,00 điểm). Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A, B$ cố định nằm trên đường tròn, $AB$ không là đường kính. Điểm $C$ di động trên cung lớn $AB$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn và $CA < CB$. Điểm $D$ là hình chiếu của $C$ trên đường thẳng $AB$. Kẻ đường kính $CI$ của đường tròn $(O)$, đường thẳng qua $B$ vuông góc với $CI$ cắt $CI$ tại $E$.
a) Chứng minh tứ giác $BCDE$ nội tiếp.
b) Chứng minh $CD \cdot CI = CA \cdot CB$ và $DE$ song song với $AI$.
c) Gọi $F$ là hình chiếu của điểm $A$ trên $CI$. Chứng minh khi điểm $C$ di động thì tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $DEF$ là một điểm cố định.
Câu 5 (1,50 điểm).
a) Cho tập hợp $X$ gồm 2026 số nguyên tùy ý. Chứng minh tồn tại một tập hợp $T$ là tập hợp con của tập hợp $X$ sao cho tổng các phần tử của tập hợp $T$ chia hết cho 2026.
b) Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh $(1+a)^3(1+b)^3(1+c)^3 > 256$.
─── HẾT ───