MÔN THI: TOÁN (VÒNG 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Tải bản PDF

Câu I. (3,5 điểm)

1) Giải phương trình

$3x + \sqrt[3]{(2+3x)(2-x)} \left(\sqrt[3]{2+3x} - 2\sqrt[3]{2-x}\right) = 6.$

2) Giải hệ phương trình

$\begin{cases} 2x + 3y + 6xy = 2, \\ 3(4x^2 + 9y^2) = 6xy(4x^2 + 9y^2) + 30xy + 12. \end{cases}$

Câu II. (2,5 điểm)

1) Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn đẳng thức

$8x^3 + 27y^3 = 18xy + 4x + 6y + 4.$

2) Ký hiệu $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \dots + a_n$. Với $y_1, y_2, \dots, y_6$ là các số thực bất kì, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$M = \sum_{i=1}^6 \left( \dfrac{2y_i}{1+y_i^2} \right)^2 \left( \dfrac{2y_{i+1}}{1+y_{i+1}^2} - \dfrac{2y_{i-1}}{1+y_{i-1}^2} \right),$

trong đó $y_0 = y_6, y_7 = y_1$.

Câu III. (3,0 điểm)

Cho hình thoi $ABCD$ với $\widehat{BAD} < 90^\circ$. Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ ($M \neq A, D$). Các đường thẳng $CM$ và $AB$ cắt nhau tại $Q$.

1) Chứng minh rằng hai tam giác $BCQ$ và $DMC$ đồng dạng.

2) Trên cạnh $AB$ lấy điểm $N$ ($N \neq A, B$). Đường thẳng $CN$ cắt đường thẳng $AD$ tại $R$. Chứng minh rằng $\dfrac{BN}{BQ} = \dfrac{DM}{DR}$.

3) Gọi $(O)$ là đường tròn tiếp xúc với $AB, AD$ lần lượt tại $B, D$. Giả sử tiếp tuyến qua $R$ (khác $RD$) và tiếp tuyến qua $Q$ (khác $QB$) của $(O)$ cắt nhau tại $P$. Gọi giao điểm của $AP$ và $QR$ là $S$. Chứng minh rằng đường thẳng $CS$ đi qua trung điểm của $MN$.

Câu IV. (1,0 điểm)

Có 100 điểm phân biệt trong một ngũ giác lồi, các điểm này cùng 5 đỉnh của ngũ giác tạo thành 105 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết rằng ngũ giác được chia hoàn toàn thành những tam giác được tạo bởi các đoạn thẳng nối giữa 2 trong 105 điểm trên sao cho:

i) Không có 2 đoạn thẳng nào có điểm chung (ngoại trừ các đầu mút của chúng);
ii) Mỗi tam giác không chứa bất kì điểm nào ở bên trong nó.

Tính số tam giác thỏa mãn những yêu cầu trên.

MÔN THI: TOÁN (VÒNG 2)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I. (3,5 điểm)

1) Giải phương trình

$1 + 5\sqrt[3]{1-25x^2} + \sqrt[3]{1+5x} + \sqrt[3]{1-5x} = 4\left(\sqrt[3]{(1+5x)^2} + \sqrt[3]{(1-5x)^2}\right).$

2) Giải hệ phương trình

$\begin{cases} x^3 + 8y^3 + 6xy + x = 3(x^2 + 4y^2) + 1, \\ x^3 + 2 = x^2 + 2y. \end{cases}$

Câu II. (1,5 điểm)

Xét phương trình $(x^3+y)(y^3+x) = 3^z$, trong đó $x, y, z$ là các số nguyên dương.

1) Chứng minh rằng khi $x = y$ thì không tồn tại $z$ thỏa mãn phương trình.

2) Tìm tất cả các bộ $(x, y, z)$ thỏa mãn phương trình với $x > y$.

Câu III. (1,0 điểm)

Với các số thực không âm $a, b, c, d$ thỏa mãn đẳng thức $a+b+c+d=1$, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$S = (a^4+b^4+c^4+d^4) - (a^5+b^5+c^5+d^5).$

Câu IV. (3,0 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $\widehat{DCB} < \widehat{ADC} < 90^\circ$; giả sử có điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $PA$ vuông góc $AD$ và $PB$ vuông góc $BC$. Dựng hình bình hành $PAQB$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $Q$ lên $AB$.

1) Chứng minh rằng $\widehat{KQB} = \widehat{BCD}$.

2) Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $CD$. Chứng minh rằng $\dfrac{HD}{HC} = \dfrac{KB}{KA}$.

3) Lấy điểm $R$ sao cho $DR$ song song $AH$ và $CR$ song song $BH$. Gọi giao điểm của hai đường thẳng $RH$ và $AB$ là $L$. Chứng minh rằng các điểm $D, C, K, L$ cùng nằm trên một đường tròn.

Câu V. (1,0 điểm)

Với mỗi dãy số $a_1, a_2, \dots, a_{600}$ gồm 600 số nguyên dương, ký hiệu $m$ là số bộ $(a_i, a_j, a_k)$ với $1 \le i < j < k \le 600$ thỏa mãn $a_j = a_i + 1$ và $a_k = a_j + 1$. Xét tất cả các dãy số như trên, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của $m$.

─── HẾT ───