Tải bản PDF

Câu 1 (2,0 điểm)

1. Cho biểu thức $M = \left( \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{14\sqrt{x} + 6}{x + 4\sqrt{x} + 3} \right) : \left( \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}} + \dfrac{-3\sqrt{x} + 9}{x + 3\sqrt{x}} \right)$ với $x > 0, x \ne 9$.

a) Rút gọn biểu thức $M$.

b) Tìm tất cả các số thực $x$ để $M$ nhận giá trị nguyên.

2. Cho $a, b, c$ là ba số thực khác $0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{2026}{abc}$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{a^2 + 2bc - 2026} + \dfrac{1}{b^2 + 2ca - 2026} + \dfrac{1}{c^2 + 2ab - 2026} = 0$$

Câu 2 (1,0 điểm)

Cho phương trình $x^2 - 2x + m - 1 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^3 + x_2^3 = 20$.

Câu 3 (0,5 điểm)

Cho 6 điểm phân biệt $A, B, C, D, E, F$ thứ tự nằm trên một đường tròn theo chiều quay của kim đồng hồ. Chọn ngẫu nhiên hai điểm trong các điểm đã cho và nối lại thành một đoạn thẳng. Tính xác suất để đoạn thẳng đó không phải là cạnh của lục giác $ABCDEF$.

Câu 4 (1,0 điểm)

Thầy giáo An đi xe máy từ $A$ đến $B$ với một tốc độ không đổi. Khi từ $B$ trở về $A$ thầy quyết định tăng tốc độ thêm $10\text{ km/h}$ nên thời gian về ít hơn thời gian đi $24$ phút. Biết quãng đường $AB$ dài $80\text{ km}$. Tính tốc độ xe máy của thầy khi đi từ $A$ đến $B$.

Câu 5 (0,5 điểm)

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 2(a + b + c)$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{a^2 + b^2 + 2c} + \dfrac{1}{b^2 + c^2 + 2a} + \dfrac{1}{c^2 + a^2 + 2b} \le \dfrac{1}{4}$$

Câu 6 (1,0 điểm)

a) Chứng minh rằng $A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 2026^3$ chia hết cho 2027.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình $(x^2 - x + 1)(y^2 - xy - 5) = x + 4$.

Câu 7 (3,5 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại $I$. Tia $AI$ cắt $(O)$ tại điểm $M$. Kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AI$ tại $I$, $d$ cắt các đường thẳng $BC, AB, AC$ lần lượt tại các điểm $S, E, F$. Đường thẳng $SM$ cắt $(O)$ tại điểm $K$ (khác $M$).

a) Chứng minh rằng $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

b) Chứng minh tam giác $MBI$ cân tại $M$.

c) Chứng minh rằng $SI^2 = SB \cdot SC$ và $SM \perp IK$.

d) Đường thẳng $IK$ cắt $BC$ tại $H$. Tia $MH$ cắt $(O)$ tại $P$. Chứng minh rằng $APEF$ là tứ giác nội tiếp.

Câu 8 (0,5 điểm)

Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3; \dots; 100\}$. Chứng minh rằng với mọi cách lấy ra $51$ số khác nhau từ tập $A$ thì luôn tồn tại hai số trong các số được lấy có tổng bằng $101$.

─── HẾT ───