Tải bản PDF

Bài 1 (2,0 điểm)

1. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 3$. Chứng minh:

$$\dfrac{1}{3x+yz} + \dfrac{1}{3y+zx} + \dfrac{1}{3z+xy} = \dfrac{6}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

2. Xét đa thức $P(x) = x^3 - mx + 1$, với $m$ là một số thực. Giả sử đa thức $P(x)$ có ba nghiệm thực là $a, b, c$.

a) Chứng minh $abc = -1$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $a^6 + b^6 + c^6 = 19$.

Bài 2 (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} 4x^3(y^2+1) + \sqrt{2x} - 2 = 0 \\ 2x^2 y \left(1 + \sqrt{y^2+3}\right) = x + \sqrt{3x^2 + \dfrac{1}{4}} \end{cases}$$

2. Một đoàn thiện nguyện dự định chở 48 tấn hàng để hưởng ứng phong trào "Hướng về Miền Trung thân yêu". Khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa tăng thêm 7 tấn so với dự định, do đó đoàn thiện nguyện phải bổ sung thêm 3 xe, lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu, đoàn thiện nguyện dự định dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau?

Bài 3 (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O; R)$ đường kính $BC$. Lấy điểm $H$ nằm trên đoạn thẳng $OC$ ($H$ không trùng với $O$ và $C$). Đường thẳng đi qua $H$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$ và cắt đường thẳng $AB$ tại $F$. Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $BE$ với đường tròn $(O; R)$ ($D$ không trùng với $B$). Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O; R)$ cắt đường thẳng $EF$ tại $G$.

1. Chứng minh ba điểm $F, D, C$ thẳng hàng và tam giác $FAD$ đồng dạng với tam giác $FCB$.

2. Chứng minh $G$ là trung điểm của $EF$ và tìm vị trí của điểm $H$ trên đoạn thẳng $OC$ sao cho $OI + 4OH$ đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Đường thẳng qua $B$ song song với đường thẳng $FC$ cắt đường thẳng $CA$ tại $S$. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $FH$ và $AD$. Chứng minh đường thẳng $OS$ song song với đường thẳng $CK$.

Bài 4 (1,5 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp $(x; y)$ nguyên dương thỏa mãn $x^2 - 2y^2 + 2x - y - xy = 21$.

2. Cho 2026 số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_{2026}$. Chứng minh tồn tại hai số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $y > 1$ và $xy + a_i$ chia hết cho $x + a_i$ với mọi số nguyên dương $i$ từ 1 đến 2026.

Bài 5 (0,75 điểm)

Xét $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn $ab + bc + ca = 3$.

1. Chứng minh $a + b + c \ge 3$.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$P = \dfrac{(2a+b+c)^3}{b+c} + \dfrac{(2b+c+a)^3}{c+a} + \dfrac{(2c+a+b)^3}{a+b}$$

Bài 6 (0,75 điểm)

Có 8 "chú" mèo, mỗi "chú" được đặt tên là một dãy ký tự thuộc vào tập hợp $\{000; 001; 010; 011; 100; 101; 110; 111\}$ sao cho không có hai "chú" mèo nào trùng tên. Hai "chú" mèo gọi là "liên kết" với nhau nếu trong dãy ký tự tên của chúng, có đúng một vị trí mà hai ký tự tương ứng khác nhau (ví dụ: hai "chú" mèo 000 và 001 được gọi là liên kết với nhau, nhưng hai "chú" mèo 000 và 011 thì không được gọi là liên kết với nhau). Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất, sao cho trong $k$ "chú" mèo phân biệt được chọn tùy ý từ 8 "chú" mèo trên, tồn tại 3 "chú" mèo mà một "chú" liên kết với hai "chú" kia.

─── HẾT ───