Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Một khách sạn mở cửa 24 giờ mỗi ngày. Quản lý phân công vị trí trực lễ tân theo giờ. Số giờ trực được chia đều cho số nhân viên lễ tân. Sau khi tuyển thêm 1 nhân viên mới thì thời gian trực của mỗi nhân viên lễ tân giảm 48 phút. Hỏi ban đầu khách sạn có bao nhiêu nhân viên lễ tân?
b) Cho $P(x)$ là đa thức bậc 3 thỏa mãn $P(1)=2, P(2)=3, P(3)=4, P(4)=17$. Tính giá trị $P(0)$.
c) Giải phương trình $\sqrt{x^2 - 2x + 16} = x - 1 + \dfrac{3}{x-1}$.
Câu 2 (1,5 điểm). Cho $m, n$ là hai số nguyên dương, $m > 1$ và $p$ là số nguyên tố lẻ sao cho $p^m = 1 + 5 \cdot 2^n$.
a) Chứng minh rằng $m$ là số chẵn.
b) Tìm tất cả các bộ $(m, n, p)$ thỏa mãn.
Câu 3 (1,5 điểm). Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \ge 3$.
a) Chứng minh rằng $4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P = \dfrac{a^3+b^3}{(1+c)^3} + \dfrac{b^3+c^3}{(1+a)^3} + \dfrac{c^3+a^3}{(1+b)^3}.$
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$), có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $BH, CH$.
a) Chứng minh rằng $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $MN$ song song với $EF$.
b) Đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $M, N, P, Q$ thẳng hàng.
c) Đường tròn đường kính $DC$ cắt $OC$ tại $S$ (khác $C$), $DS$ cắt $AC$ tại $T$. Chứng minh $AC \cdot TQ = AT \cdot QC$.
Câu 5 (1,0 điểm). Ban đầu trên bảng viết cặp số có thứ tự $(2; 3)$. Mỗi bước bạn Phú được phép thay thế cặp $(x; y)$ trên bảng bằng một trong các cặp $(y; x), (-x; y), (y-x; y)$.
a) Hãy chỉ ra một cách thực hiện để sau hữu hạn bước bạn Phú viết được cặp $(4; 1)$ lên bảng.
b) Hỏi sau hữu hạn bước bạn Phú có viết được cặp $(2026; 2027)$ lên bảng hay không?
─── HẾT ───