Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Một khách sạn mở cửa 24 giờ mỗi ngày. Quản lý phân công vị trí trực lễ tân theo giờ. Số giờ trực được chia đều cho số nhân viên lễ tân. Sau khi tuyển thêm 1 nhân viên mới thì thời gian trực của mỗi nhân viên lễ tân giảm 48 phút. Hỏi ban đầu khách sạn có bao nhiêu nhân viên lễ tân?
b) Cho $P(x)$ là đa thức bậc 3 thỏa mãn $P(1)=2, P(2)=3, P(3)=4, P(4)=17$. Tính giá trị $P(0)$.
c) Giải phương trình $\sqrt{x^2 - 2x + 16} = x - 1 + \dfrac{3}{x-1}$.
Câu 2 (1,5 điểm). Cho $m, n$ là hai số nguyên dương, $m > 1$ và $p$ là số nguyên tố lẻ sao cho $p^m = 1 + 5 \cdot 2^n$.
a) Chứng minh rằng $m$ là số chẵn.
b) Tìm tất cả các bộ $(m, n, p)$ thỏa mãn.
Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc = 1$.
a) Chứng minh rằng $\dfrac{1}{ab+b+1} + \dfrac{1}{bc+c+1} + \dfrac{1}{ca+a+1} = 1$.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{3a+4b+2c} + \dfrac{1}{3b+4c+2a} + \dfrac{1}{3c+4a+2b}$.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB < AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với ba cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $EM, FN$ là hai đường cao của tam giác $DEF$. Gọi $I'$ là điểm đối xứng của $I$ qua $EF$.
a) Chứng minh rằng $MN$ song song $BC$ và $I'$ là trực tâm của tam giác $AEF$.
b) Chứng minh rằng $\widehat{DFI'} = \widehat{MEC}$ và $\widehat{IMC} = 90^\circ$.
c) Gọi $S$ là giao điểm của $I'C$ với $DE$, $T$ là giao điểm của $ID$ với $MC$. Chứng minh rằng 5 điểm $I', M, N, S, T$ cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 5 (1,0 điểm). Ban đầu trên bảng có 100 số 1. Mỗi bước bạn An chọn một số $a$ bất kỳ trên bảng sau đó xóa nó đi và thay thế bởi bốn số $\dfrac{a}{4}, \dfrac{a}{4}, \dfrac{a}{4}, \dfrac{a}{4}$. Chẳng hạn, nếu chọn số 1 thì An sẽ thay thế bởi bốn số $\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4}$.
a) Hãy chỉ ra một cách thực hiện để sau hữu hạn bước, trên bảng không có 77 số giống nhau.
b) Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho bất kể bạn An chọn số như thế nào thì sau mỗi bước, trên bảng luôn tồn tại ít nhất $k$ số giống nhau.
─── HẾT ───