Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh - Trường Phổ thông Năng khiếu
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (1.5 điểm). Cho các phương trình $x^2 + 2ax + 3b = 0$ và $x^2 + 2bx + 3a = 0$, trong đó $a$ và $b$ là hai tham số. Biết các phương trình này đều có hai nghiệm phân biệt.
a) Chứng minh $\left(a - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(b - \dfrac{3}{2}\right)^2 > \dfrac{9}{2}$.
b) Giả sử hai phương trình trên có đúng một nghiệm chung. Gọi $r$ là nghiệm còn lại của phương trình thứ nhất và $s$ là nghiệm còn lại của phương trình thứ hai. Chứng minh $r+s$ không phụ thuộc vào $a$ và $b$.
Câu 2 (1.5 điểm). Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cạnh $BC = 7, DA = 1$, và hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác $ABCD$.
Câu 3 (2 điểm). Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $f(n) = (n+4)^4 - n^4$.
a) Chứng minh $f(n)$ chia hết cho 16 với mọi $n$.
b) Tìm $n$ để $f(n)$ chia hết cho 3.
c) Tìm $n$ để $f(n)$ chia hết cho $24^2$.
Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $J$ là trung điểm của $EF$ và $K$ là giao điểm của $AD$ với $EF$.
a) Chứng minh $ID^2 = IJ \cdot IA$ và tam giác $IJD$ đồng dạng với tam giác $IDA$.
b) Gọi $H$ là giao điểm khác $I$ của $IK$ với đường tròn đường kính $AI$. Chứng minh $\widehat{IHD} = \widehat{IDK}$ và các điểm $I, D, J, H$ cùng thuộc một đường tròn $(S)$.
c) Gọi $L$ và $G$ lần lượt là các giao điểm khác $D$ của $DJ$ và $(S)$ với $(I)$. Chứng minh $A, G, D$ thẳng hàng và các đường thẳng $AL, GJ$ cắt nhau trên $(I)$.
Câu 5 (2 điểm). Cho bảng ô vuông kích thước $3 \times 3$ gồm 3 hàng, 3 cột và 2 đường chéo như sau:
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} & \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} & \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} \\ \hline \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} & \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} & \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} \\ \hline \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} & \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} & \phantom{\rule{0pt}{1.5em}\rule{1.5em}{0pt}} \\ \hline \end{array} $$
Một số nguyên dương $n$ được gọi là số tốt nếu ta tìm được 9 số nguyên dương phân biệt và điền vào các ô của bảng, mỗi ô một số, sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng $n$.
a) Hãy chỉ ra một cách điền các số nguyên dương từ 1 đến 9 vào các ô của bảng sao cho tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều bằng nhau.
b) Chứng minh nếu $n \ge 15$ và $n$ chia hết cho 3 thì $n$ là số tốt.
c) Chứng minh nếu $n$ là số tốt thì $n \ge 15$ và $n$ chia hết cho 3.
─── HẾT ───