Tải bản PDF

Bài 1 (1,5 điểm)

1. Một cái túi chứa 5 quả bóng giống nhau được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (mỗi quả bóng được đánh một số khác nhau). Bốc ngẫu nhiên lần lượt hai quả bóng từ túi (mỗi lần bốc một quả, quả bóng bốc lần đầu không được hoàn lại). Tính xác suất của biến cố A: "Hai số ghi trên hai quả bóng bốc được đều là số chẵn".

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q, r$ sao cho $p < q < r$ và $pq + 25, pr + 100$ là những số chính phương.

Bài 2 (2,0 điểm)

1. Cho hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$ có đồ thị $(P)$. Gọi $A, B$ là các điểm thuộc $(P)$ có hoành độ lần lượt là $-2$ và $4$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục tung sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất.

2. Cho $a, b$ là hai số thực không âm và $c$ là số thực dương thỏa mãn đẳng thức:

$$\dfrac{3c - 2b}{\sqrt{a} + \sqrt{a + 2b - 3c}} = \sqrt{2b} + \sqrt{3c}$$

Tính giá trị của biểu thức $M = \dfrac{5b + 4a + 8bc - 2038c}{a - 2b + 2023c}$.

Bài 3 (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

$$\begin{cases} x+3 = 2\sqrt{(3y-x)(y+1)} \\ 4xy - 2x - 2y - 1 = \sqrt{10y+1} \end{cases}$$

2. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{a+bc} + \dfrac{1}{b+ca} + \dfrac{1}{c+ab} \ge \dfrac{7}{1+abc}$$

Bài 4 (3,5 điểm)

2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $D, E, F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$.

a) Chứng minh $H$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$.

b) Đường thẳng $AO$ lần lượt cắt $EF, BC$ và đường tròn $(O)$ tại $K, L, M$ ($M$ khác $A$). Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt đường thẳng $AD$ tại $N$. Chứng minh $NL \parallel HK$.

c) Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $T$ (khác $A$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFT$ cắt đường thẳng $BC$ tại hai điểm $P, Q$. Chứng minh $CP = CQ$.

Bài 5 (1,0 điểm)

Viết tất cả các hợp số không vượt quá 30 lên bảng.

a) Có thể tô mỗi số trên bảng bởi một trong hai màu xanh, đỏ (cả hai màu đều được dùng) sao cho tích các số cùng màu bằng nhau được không? Tại sao?

b) Có thể xóa đi 3 số trên bảng và tô mỗi số còn lại bởi một trong ba màu xanh, đỏ, vàng (cả ba màu đều được dùng) sao cho tích các số cùng màu bằng nhau được không? Tại sao?

─── HẾT ───