Tải bản PDF

Câu I (1,5 điểm)

Cho biểu thức $P = \left( \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{x\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{x + 4}$ với $x \ge 0, x \ne 1$.

1. Rút gọn biểu thức $P$.

2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.

Câu II (2,0 điểm)

1. Một cửa hàng nhập về 120 chiếc xe đạp. Cửa hàng treo giá bán mỗi chiếc xe đạp tăng $30\%$ so với giá lúc nhập về. Sau khi bán được 20 chiếc xe đạp, cửa hàng treo giá bán mới giảm $20\%$ so với giá đã bán trước đó và với giá bán mới này thì 100 chiếc xe đạp còn lại đã được bán hết. Biết các chiếc xe đạp có giá nhập về bằng nhau và số tiền lãi của cửa hàng thu được sau khi bán hết 120 chiếc xe đạp là 50 triệu đồng. Hỏi giá nhập về của mỗi chiếc xe đạp là bao nhiêu triệu đồng?

2. Cho phương trình $x^2 - mx + m - 3 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $2x_1^2 + x_2^2 + mx_2 - 8 = 0$.

Câu III (3,5 điểm)

2. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $AB \le AC$ và $AE$ là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ ($E \in BC$). Các đường cao $AM, BN, CP$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$ ($M \in BC, N \in CA, P \in AB$). Biết $AO$ cắt $BC$ tại $F$ và $AH$ cắt $PN$ tại $K$. Chứng minh:

a) $PH$ là tia phân giác của $\widehat{MPN}$.

b) $\Delta AKP$ đồng dạng với $\Delta AFC$.

c) $EF \cdot EB \le EM \cdot EC$.

Câu IV (1,5 điểm)

Xếp ngẫu nhiên 5 bạn An, Bình, Tâm, Nhiên, Phúc ngồi trên một hàng ghế dài có 5 chỗ ngồi. Tính xác suất của biến cố D: "An ngồi cạnh Bình nhưng An không ngồi cạnh Nhiên".

Câu V (1,5 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $x^2 + xy - 2y + 3 = 0$.

2. Cho $m, n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(m - n)(2m + 2n - 1) = m^2$. Chứng minh $m - n$ là số chính phương.

─── HẾT ───