Ngày thi: 06/06/2026 | Thời gian làm bài: 150 phút
Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2 = y + z$.
1) Chứng minh rằng: $\sqrt{2(x - \sqrt{y})} = \sqrt{x + \sqrt{z}} - \sqrt{x - \sqrt{z}}$.
2) Tính $L = \dfrac{\sqrt{x - \sqrt{y}} + \sqrt{x - \sqrt{z}}}{\sqrt{x + \sqrt{y}} + \sqrt{x + \sqrt{z}}}$.
Giả sử $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ là một bộ hoán vị của bộ bốn số $(1, 2, 3, 4)$. Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ L = \sqrt{|x_1 - 1|} + \sqrt{|x_2 - 2|} + \sqrt{|x_3 - 3|} + \sqrt{|x_4 - 4|}. $$
Cho $P(x)$ là một đa thức bậc 30 có ít nhất 11 nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng: Không tồn tại hai đa thức khác hằng $Q(x), R(x)$ với hệ số thực sao cho
$$ P(x) = [Q(x)]^3 + [R(x)]^3 $$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Dựng một đường tròn $(O')$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $M$ và tiếp xúc với $AB, BC$ tại các điểm $N, E$. $MN$ và $ME$ lần lượt cắt $(O)$ lần thứ hai tại các điểm $S, T$ khác $M$.
1) Chứng minh rằng $ST \parallel NE$.
2) Đường thẳng $ST$ cắt $BC, BA$ tương ứng tại các điểm $P, Q$. Chứng minh rằng $TP \cdot SQ = BP^2 = BQ^2$.
3) Gọi $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $IPBQ$ là hình thoi.
Cho $S$ là tập hợp các số nguyên dương $x$ sao cho tồn tại $y, n$ nguyên dương thỏa mãn $x^2 + 2^n = y^2$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $x, x + 1$ thuộc $S$.
Cho một bảng ô vuông kích thước $2026 \times 2026$. Một cách tô màu được gọi là hoàn hảo nếu mỗi ô vuông của bảng được tô bởi một trong hai màu đen hoặc trắng sao cho mỗi hàng và mỗi cột của bảng đều chứa ít nhất 1013 ô màu đen và tối đa 1200 ô màu đen.
Với một cách tô màu hoàn hảo, ta thực hiện phép biến đổi sau: Thay màu một ô vuông (từ đen thành trắng, hoặc từ trắng thành đen) sao cho bảng ô vuông mới nhận được vẫn là một cách tô màu hoàn hảo.
Chứng minh rằng với mọi cặp tô màu hoàn hảo $S_1, S_2$ bất kỳ, xuất phát từ $S_1$ ta luôn có thể thực hiện một số hữu hạn bước biến đổi để thu được $S_2$.
─── HẾT ───