Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (2,0 điểm).
a. Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+5} + \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-4} - \dfrac{8\sqrt{x}-14}{x+\sqrt{x}-20}$.
b. Cho phương trình $x^2 + 2(m+5)x + m^2 + m - 2 = 0$ ($m$ là tham số thực). Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 144$.
Câu 2 (1,0 điểm). Cho đa thức $P(x) = x^{2n} + (2x+1)^n$, với $n$ là số nguyên dương. Biết rằng $P(x)$ chia hết cho đa thức $x+1$. Chứng minh rằng $P(2027) - 4$ chia hết cho 5.
Câu 3 (1,0 điểm). Có một nhóm 6 người gồm An, Bình, Cường, Duyên, Mai, Nam. Nếu người này kết bạn với người kia thì 2 người đó là bạn của nhau. Trong nhóm này, An chỉ kết bạn với Nam và Bình; Cường chỉ kết bạn với Bình và Duyên; Mai chỉ kết bạn với Nam và Duyên. Trong 3 người Bình, Nam, Duyên mỗi người là bạn với đúng 2 người khác trong nhóm 6 người trên. Trong 3 người An, Cường, Mai không có 2 người nào là bạn của nhau. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 người trong nhóm 6 người trên. Tính xác suất của biến cố $X$: "2 người được chọn không là bạn của nhau".
Câu 4 (2,0 điểm).
a. Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $4a^2+b^2+c^2-9=5ab+2bc+4ca$. Chứng minh rằng, $ab+1$ và $ab+4a+2b-2c+10$ đều là các số chính phương.
b. Chứng minh rằng, không tồn tại số nguyên $n$ để $n+2026$ và $n-2$ đều là lập phương của các số nguyên.
Câu 5 (3,0 điểm). Cho đường tròn $(O)$ có $AB$ là một dây cung không đi qua tâm của đường tròn. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm $A, B$ cắt nhau tại điểm $M$. Kẻ tia $Mx$ nằm giữa hai tia $MA, MO$. Gọi $C$ và $D$ là giao điểm của tia $Mx$ với đường tròn $(O)$ sao cho điểm $C$ nằm giữa hai điểm $M$ và $D$. Gọi $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$.
a. Chứng minh rằng, năm điểm $M, A, E, O, B$ cùng thuộc một đường tròn và $EM$ là tia phân giác của $\widehat{AEB}$.
b. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $MO$. Đường thẳng $CH$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F$ ($F \neq C$). Chứng minh rằng, $MC \cdot MD = MH \cdot MO$ và đường thẳng $DF$ song song với đường thẳng $AB$.
c. Đường thẳng $DF$ cắt các tia $MA, MB$ tương ứng tại các điểm $P, Q$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $EP$ và $AD$; $J$ là giao điểm của hai đường thẳng $EQ$ và $BD$. Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $IJ$. Chứng minh rằng, ba điểm $H, K, D$ thẳng hàng.
Câu 6 (1,0 điểm). Xác định tất cả các tập hợp $X$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) Tập hợp $X$ có 2026 phần tử. Các phần tử là các số thực dương. Tổng của tất cả các phần tử của tập hợp $X$ bằng 2027.
ii) Với hai phần tử phân biệt bất kỳ $a, b$ thuộc tập hợp $X$ thì có ít nhất một trong hai số $|a-b|, a+b$ cũng thuộc tập hợp $X$.
─── HẾT ───