Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa
Thời gian làm bài: 150 phút
a) Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{8 + a^2 + b^2} = ab + 2$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{3}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $Q = a^3 + b^3$.
b) Xét đa thức $P(x) = ax^2 + bx + 2$ với $a, b$ là các hệ số thực. Biết rằng với mọi số thực $x$ thỏa mãn $|x| \le 1$ thì $|P(x)| \le 4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S = |a| + |b|$.
Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} 2x^2 - 3\sqrt{2x-1} = 71 - 2(y^2 + 2y) \\ \sqrt{x^2 - x - 1 - y} = \dfrac{y+1}{\sqrt[4]{x-1-y}} \end{cases}$$Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số phân biệt được lập từ các chữ số 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp $S$. Tính xác suất chọn được số có tổng tất cả các chữ số là một số chẵn.
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn $(x + y)^2 + 4x = 4(y^2 - 3y + 9)$.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ và $q$ thỏa mãn $(p + q)^p = (q - p)^{2q-1}$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) có đường tròn ngoại tiếp $(O)$, đường cao $AH$ ($H$ thuộc cạnh $BC$) và tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$ (khác điểm $A$). Gọi $F$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Đường thẳng $MF$ cắt các đường thẳng $AH, BC$ theo thứ tự tại $N$ và $K$.
a) Chứng minh rằng các tam giác $INF$ và $IMC$ là các tam giác cân.
b) Chứng minh rằng tứ giác $NHIK$ nội tiếp đường tròn.
c) Đường thẳng $FI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $D$ (khác điểm $F$), hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại điểm $S$. Chứng minh rằng nếu $AB + AC = 2BC$ thì tứ giác $SIKM$ là hình bình hành.
Một thuật toán được lập trình trên máy tính như sau: ban đầu, một số số nguyên dương (nhiều hơn một số) được hiện lên màn hình. Sau đó, cứ mỗi giây, một số bằng tổng bình phương của tất cả các số đã hiện trên màn hình lại được hiện lên (ví dụ, nếu ban đầu có các số 1 và 3 được hiện trên màn hình, thì ở giây đầu tiên, số $10 = 1^2 + 3^2$ sẽ được hiện lên; ở giây thứ hai, số $110 = 1^2 + 3^2 + 10^2$ sẽ được hiện lên;...). Gọi $n_k$ là số ước nguyên tố phân biệt của số hiện trên màn hình ở giây thứ $k$ ($k \ge 1$). Chứng minh rằng $n_1 + n_2 + \dots + n_{2026} \ge 2053351$.
─── HẾT ───