Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang
Thời gian làm bài: 150 phút
a) Chứng minh rằng $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} - \sqrt{5} = 2$.
b) Cho số thực $x$ thỏa mãn $\dfrac{1}{4} \le x \le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x\sqrt{2-x}$.
1. Cho phương trình $x^2 - 2(m+3)x + m^2 + 3 = 0$ (1), với $m$ là tham số.
a) Giải phương trình khi $m = 2$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $(2x_1 - 1)(2x_2 - 1) = 9$.
2. Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 3xy + x - y \\ x^2 - 2y - 1 + \sqrt{x^2 - 2y + 1} = 0 \end{cases}$$Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB < AC$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC, CA, AB$. Trên cung nhỏ $\widehat{PN}$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $APN$, lấy điểm $F$ sao cho $\widehat{PAF} = \widehat{MAC}$. Gọi $D$ là giao điểm của $AM$ và trung trực cạnh $AB$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác $APF$ đồng dạng với tam giác $AMC$.
b) $PD = PB \cdot \tan \widehat{NPF}$.
c) Ba điểm $B, F, D$ thẳng hàng.
a) Lớp 10A có 18 học sinh nữ và một số học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Biết xác suất để học sinh đó là nam bằng $\dfrac{3}{5}$; hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh?
b) Ban đầu, bạn A có 25 chiếc kẹo, bạn B có 26 chiếc kẹo và bạn C có 27 chiếc kẹo. Ba bạn A, B, C thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lượt chơi, bạn nào có nhiều kẹo nhất sẽ cho hai bạn còn lại mỗi bạn một chiếc kẹo và bỏ một chiếc kẹo vào hộp đựng kẹo chung. Xác định số kẹo của ba bạn A, B, C sau 52 lượt chơi.
a) Giả sử $d$ là một ước của $A = 3^{2^n} + 2^{2^n}$. Chứng minh rằng $d$ cũng là một ước của $B = 3^{2^k} - 2^{2^k}$ (với $k > n$, $k \in \mathbb{N}$).
b) Tìm ước chung lớn nhất của $C = 3^{2^7} + 2^{2^7}$ và $D = 3^{2^{2027}} + 2^{2^{2027}}$.
─── HẾT ───