Tải bản PDF

Bài thi thứ nhất

Ngày thi: 15 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi:

$$\begin{cases} a_1 = a \in \mathbb{R}, \\ a_{n+1} = a_n + \dfrac{1 - a_n^2}{n a_n}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}$$

a) Với $a = 2$, chứng minh rằng dãy $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn.

b) Với $a > 0$, chứng minh rằng $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \dots + \dfrac{1}{a_n} \geq n$ với mọi $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$.

Câu 2. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $P$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $EF$. Gọi $Q$ là giao điểm của $EF$ và $BC$.

a) Gọi $R$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AP$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng đường thẳng $DR$ đi qua điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $OM$.

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMR$. Chứng minh rằng đường thẳng $XH$ vuông góc với $QG$.

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho đa thức $P(x) = 4x^3 - 20x^2 + 25x$. Xét dãy các đa thức $(P_n(x))$ xác định bởi:

$$P_1(x), \quad P_{n+1}(x) = P(P_n(x)) \text{ với mọi } n \in \mathbb{N}^*.$$

a) Với $P_1(x) = P(x)$, xác định số nghiệm thực phân biệt của $P_n(x)$ theo $n$.

b) Với $P_1(x) = P(1-x) + 8x^2 - 9$, gọi $a_n$ là nghiệm dương nhỏ nhất của đa thức $P_n(x)$ với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$. Chứng minh rằng:

$$T = \sum_{n=1}^{2026} a_n > \dfrac{3}{4}.$$

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho hai dãy số $(a_n), (b_n)$ xác định như sau:

$$a_0 = 1, a_1 = 1, a_{n+2} = 2a_{n+1} + a_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}$$ $$\text{và } b_0 = 0, b_1 = 1, b_{n+2} = 2b_{n+1} + b_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}.$$

Chứng minh rằng, với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ thì:

a) $a_n + b_n\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^n$ và cặp số $a_n, b_n$ nguyên tố cùng nhau.

b) $\dfrac{b_{4n}}{2}$ là số nguyên nhưng không là số chính phương.

Bài thi thứ hai

Ngày thi: 16 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 5. (6,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x + y f(x)) + f(xy) = f(x) + f(2026y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$

Câu 6. (7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $DE, DF$.

a) Giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDM$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDN$ là $K$. Chứng minh rằng $K$ nằm trên đường tròn $(I)$.

b) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDM$ và đường tròn $(O)$, $Q$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDN$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng bốn điểm $P, Q, M, N$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 7. (7,0 điểm)

Một dàn đèn LED dạng lưới tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $n$ (với $n \in \mathbb{N}^*, n \geq 4$) được chia thành các tam giác đều có cạnh bằng 1, mỗi nút của lưới có một bóng đèn (tham khảo hình vẽ). Mỗi đèn có hai trạng thái: bật và tắt. Ban đầu, tất cả các đèn đều ở trạng thái tắt. Kí hiệu $X_i, Y_j, Z_k$ là các đường thẳng lần lượt song song hoặc trùng với $BC, AB, AC$ chứa đúng $i$ đèn ($i = 1, 2, \dots, n+1$). Với mỗi thao tác, người ta tác động vào một trong các đường thẳng $X_i, Y_j, Z_k$ làm cho trạng thái của tất cả các đèn nằm trên đó thay đổi: đèn đang tắt sẽ bật, đèn đang bật sẽ tắt.

a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng $X_i, Y_j, Z_k$ cùng đi qua một đèn là $i + j + k = 2n + 3$.

b) Từ trạng thái ban đầu, hãy chỉ ra một dãy thao tác trong đó số lần tác động vào mỗi đường thẳng $X_i, Y_j, Z_k$ nhiều nhất bằng 1, đồng thời mỗi nhóm $(X_1, \dots, X_{n+1})$, $(Y_1, \dots, Y_{n+1})$ và $(Z_1, \dots, Z_{n+1})$ đều có ít nhất một đường thẳng được tác động, để sau dãy thao tác này tất cả các đèn đều tắt.

c) Với mỗi trạng thái $H$ có thể xảy ra của dàn đèn LED, gọi $s(H)$ là số thao tác ít nhất cần thực hiện để tạo ra $H$ từ trạng thái ban đầu. Tìm giá trị lớn nhất của $s(H)$.

─── HẾT ───