Cho dãy số $(a_n)$: $a_0 = 1, a_1 = 2, a_{n+2} = 4a_{n+1} - a_n, n \ge 0$. Chứng minh rằng:
1. $a_n - 1$ là số chính phương với mọi $n$ lẻ.
2. $\dfrac{a_n - 1}{6}$ là số chính phương với mọi $n$ chẵn.
Cho dãy số $(a_n)$ như sau:
$$\begin{cases} a_0 = 1, a_1 = 45 \\ a_{n+2} = 45a_{n+1} - 7a_n \end{cases}$$Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $1997a_n^2 + 4 \cdot 7^{n+1}$ luôn là một số chính phương.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} u_0 = 9, u_1 = 161 \\ u_n = 18u_{n-1} - u_{n-2}, \quad \forall n \ge 2 \end{cases}$$Chứng minh rằng $\dfrac{u_n^2 - 1}{5}$ là số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn:
$$\begin{cases} x_1 = 20, x_2 = 30 \\ x_{n+1} = 3x_n - x_{n-1}, \quad \forall n \ge 2 \end{cases}$$Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $5x_n x_{n+1} + 1$ là số chính phương.
Cho dãy số $(x_n)$: $x_1 = 1, x_2 = 2011, x_{n+2} = 4022x_{n+1} - x_n, \forall n = 1, 2, \dots$
Chứng minh rằng $\dfrac{x_{2012} + 1}{2012}$ là một số chính phương.
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_{n+1} = \dfrac{x_n}{2 + \sqrt{3 + x_n^2}}, \quad n \ge 1 \end{cases}$$Chứng minh số $\dfrac{x_n^2}{x_{2n}^2} - 2$ có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số nguyên dương $n$.
Cho dãy số thực $\{a_n\}$ được xác định bởi $a_0 = 1$ và
$$a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{1}{3a_n}\right), \quad \forall n = 0, 1, 2, \dots$$Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, số $A_n = \dfrac{3}{3a_n^2 - 1}$ là một số chính phương và nó có ít nhất $n$ ước nguyên tố phân biệt.