Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cà Mau — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 26/07/2026
Cho hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục, khác hằng và thỏa mãn:
\[ f(x^3) + 1 = \left(xf(x) + 2x^2 - 1\right)^2, \quad \forall x \in \mathbb{R} \]Xét dãy số thực $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = m \in \mathbb{R}$ và $u_{n+1} = f(u_n), \; \forall n \geq 1$.
a) Chứng minh rằng tồn tại $m > 1$ để dãy $(u_n)$ là dãy hằng.
b) Giả sử $f$ là đa thức khác hằng. Hỏi có bao nhiêu số thực $m \in (-1, 3)$ để $u_{2027} = 1$?
Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực thay đổi $x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1, 1]$. Quy ước rằng $x_0 = x_n$ và $x_{n+1} = x_1$. Kí hiệu $T = \max_{1 \le k \le n} \left(x_k(x_{k-1} + x_{k+1})\right)$ là số lớn nhất trong $n$ số
\[ x_1(x_0 + x_2); \; x_2(x_1 + x_3); \; \dots; \; x_n(x_{n-1} + x_{n+1}) \]a) Khi $n = 2026$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T$.
b) Khi $n = 2027$. Chứng minh rằng $T \geq -\dfrac{1}{4}$ và nêu một bộ số $x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1, 1]$ thỏa mãn đẳng thức.
Với mỗi cặp số nguyên dương $a$ và $b$. Kí hiệu $f(a, b) = 11a + 6b + 8ab$.
a) Chứng minh rằng với $a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+$ và $m > 1$ là lũy thừa của 2 nếu có
\[ f(a, b) \equiv f(c, d) \pmod m \quad \text{và} \quad f(b, a) \equiv f(d, c) \pmod m \]thì $a - c$ và $b - d$ đều chia hết cho $m$. Hỏi kết luận có còn đúng không nếu $m$ có ước nguyên tố lẻ?
b) Chứng minh rằng $k = 2$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $f(a, b) + k$ không là số chính phương $\forall a, b \in \mathbb{Z}^+$.
Cho hai đường tròn $(O_1); (O_2)$ có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm $A, B$. Kẻ tiếp tuyến chung $CD$ của hai đường tròn (gần $B$ hơn) với $C \in (O_1); D \in (O_2)$. Dựng điểm $H$ sao cho tam giác $HCD$ nhận $B$ làm trực tâm. Kẻ đường kính $CR$ của $(O_1)$ và đường kính $DS$ của $(O_2)$. Biết rằng $BR$ cắt $HC$ ở $P$ và $BS$ cắt $HD$ ở $Q$. Dựng các điểm $I, J$ sao cho các đoạn thẳng $HI, HJ$ lần lượt nhận $P, Q$ làm trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác $AIC$ và $AJD$ có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Trên mặt phẳng tọa độ giả lập cho một trò chơi điện tử, Bảo Long và Châu Mai cùng điều khiển một chiếc xe. Ban đầu, xe ở gốc tọa độ và hướng về chiều dương của trục $Ox$. Xe có thể đi theo một trong bốn hướng: lên, xuống, trái, phải. Hai bạn chơi luân phiên thực hiện các lượt đi như sau:
Biết rằng Long đi trước và thực hiện tổng cộng $k$ lượt. Sau mỗi lượt của Long, hệ thống ghi nhận lại vị trí dừng xe. Nếu có một vị trí dừng nào trùng với vị trí được ghi nhận trước đó (kể cả gốc tọa độ) thì Mai thắng, nếu không thì Long thắng. Hãy xác định người có chiến thuật thắng nếu:
a) $k = 20$
b) $k = 400$
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Kẻ phân giác $BB', CC'$ của tam giác $ABC$, trong đó $B', C' \in (O)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$, vuông góc $OI$. Giả sử $d$ cắt các đoạn thẳng $AB, BC, B'C'$ lần lượt ở $E, D, H$ và cắt tia đối của tia $AC$ ở $F$. Trên $(O)$ lấy điểm $L$ sao cho $AL$ song song với $d$. Gọi $A'$ là trung điểm của cung lớn $BC$ của $(O)$ và $AI$ cắt lại $(O)$ tại $K$.
a) Chứng minh rằng $AH = HI = ID = DL = DK$.
b) Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Lấy điểm $G$ trên $(O)$ sao cho $HG$ vuông góc $IJ$ và lấy các điểm $R, S$ trên $(O)$ sao cho $GI = GR = GS$. Giả sử rằng $A, G$ nằm khác phía nhau so với đường thẳng $RS$. Chứng minh rằng $AG, RS$ cắt nhau tại một điểm trên $(J)$.
Gọi một đa thức hệ số thực là monic nếu nó có hệ số của bậc cao nhất bằng 1.
a) Xây dựng đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên, bậc 29, monic, $2026 \mid f(0)$ sao cho: $\forall n \in \mathbb{Z}^+$ mà $3 \mid f(n)$ thì đều có $3^{42} \mid f(n)$.
b) Cho số nguyên dương $k > 1$ và số nguyên tố $p$ lẻ. Chứng minh rằng $k + v_p(k!)$ là giá trị lớn nhất của số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại đa thức $f(x)$ hệ số nguyên bậc $k$, monic, $p \mid f(0)$ và thỏa mãn: $\forall n \in \mathbb{Z}^+$ mà $p \mid f(n)$ thì đều có $p^m \mid f(n)$.