Tải bản PDF

Ngày thi thứ nhất

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1 = 2$ và $a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 1}{2a_n}$ với mọi $n \ge 1$.

a) Chứng minh rằng dãy số $(a_n)$ giảm và hội tụ. Tìm $\lim a_n$.

b) Đặt $S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k - 1}$. Tìm $\lim \left(\dfrac{S_n}{2^n}\right)$.

Câu 2. (5,0 điểm)

Cho đa thức $P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ có $n$ nghiệm thực phân biệt $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Chứng minh rằng:

$$\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{P'(x_i)} = 0$$

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ tại $K$ ($K \ne A$). Đường thẳng $HK$ cắt $BC$ tại $M$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $BKMC$ nội tiếp một đường tròn.

b) Gọi $N$ là trung điểm cạnh $BC$. Đường thẳng $AN$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh rằng bốn điểm $K, H, P, N$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng số $A = 2^{2^n} + 2^{2^{n-1}} + 1$ có ít nhất $n$ ước số nguyên tố phân biệt.

Ngày thi thứ hai

Câu 5. (5,0 điểm)

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2 + 3}} + \dfrac{b^3}{\sqrt{c^2 + 3}} + \dfrac{c^3}{\sqrt{a^2 + 3}} \ge \dfrac{3}{2}$$

Câu 6. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x^2 + y f(x)) = x f(x + y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Câu 7. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $J$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$, tiếp xúc với phần kéo dài của $AB, AC$ lần lượt tại $E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $AD$ cắt $(J)$ tại điểm thứ hai $K$.

a) Chứng minh rằng $EF, DK, BC$ đồng quy.

b) Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $EF$ cắt $KM$ tại $L$. Chứng minh rằng $AL \parallel BC$.

Câu 8. (5,0 điểm)

Có 2026 học sinh xếp thành một vòng tròn. Thầy giáo chia cho mỗi học sinh một số kẹo nhất định sao cho tổng số kẹo là 2026. Ở mỗi bước, nếu một học sinh có ít nhất 2 cái kẹo thì học sinh đó có thể đưa cho mỗi bạn bên cạnh mình (bên trái và bên phải) đúng 1 cái kẹo. Chứng minh rằng sau hữu hạn bước, trạng thái mà mỗi học sinh có đúng 1 cái kẹo sẽ đạt được.

─── HẾT ───