Sở Giáo dục và Đào tạo TP. Đà Nẵng — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1 = 1$ và $x_{n+1} = \dfrac{x_n}{1 + \ln(1 + x_n^2)}$ với mọi $n \ge 1$.
a) Chứng minh rằng $\lim x_n = 0$.
b) Tìm giới hạn $\lim (n x_n^2)$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x f(x + y)) = f(y f(x)) + x^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H$. Đường tròn $(K)$ đi qua $B, C$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $F, E$. Gọi $M$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Giả sử $HM \perp BC$.
a) Chứng minh rằng $A, M, K$ thẳng hàng.
b) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ với $(O)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại $P$ của $(O)$ cắt đường thẳng $EF$ tại một điểm nằm trên đường đối cực của $A$ đối với $(K)$.
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $(p, q, r)$ sao cho $p^q + q^p = r$.
Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 3$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{\sqrt{b^3 + 1}} + \dfrac{b}{\sqrt{c^3 + 1}} + \dfrac{c}{\sqrt{a^3 + 1}} \ge \dfrac{3}{\sqrt{2}}$$Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $P$ là giao điểm của $AB$ và $CD$, $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BC$, $R$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $R$ trên $PQ$.
a) Chứng minh rằng $RH$ là phân giác của góc $\widehat{BHD}$ và $\widehat{AHC}$.
b) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC, BD$. Chứng minh rằng $H, M, N$ thẳng hàng.
Cho tập hợp $S = \{1, 2, \dots, n\}$. Một tập con $A$ của $S$ được gọi là "độc lập" nếu không có hai phần tử $x, y \in A$ nào thỏa mãn $|x - y| = 1$ hoặc $|x - y| = 3$.
a) Với $n = 10$, tìm số phần tử lớn nhất của một tập con độc lập.
b) Tính số tập con độc lập của $S$ khi $n = 2026$.
─── HẾT ───