Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $n!$ là ước của tích sau: $$(2^n - 1)(2^n - 2)\dots (2^n - 2^{n-1}).$$
Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(k, n)$ sao cho: $$k! = (2^n - 1)(2^n - 2)\dots (2^n - 2^{n-1}).$$
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(k, m)$ sao cho với mọi số tự nhiên $n$ tích $$(n + m)(n + 2m)\dots (n + km)$$ chia hết cho $k!$.
Chứng minh rằng với $n$ nguyên dương và hai số nguyên $a$ và $b$ thì $n!$ chia hết $$A = a(a + b)(a + 2b)\dots (a + (n - 1)b)b^{n-1}.$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 3$ thì ta có: $$n!(n + 1)!(n + 2)! \mid (3n)!.$$
Cho số tự nhiên $m, n$. Chứng minh rằng: $$m!n!(m + n)! \mid (2n)!(2m)!.$$
Tìm tất cả số nguyên dương $k$ thỏa mãn với mỗi số nguyên dương $n$ thì $2^{(k-1)n+1}$ không là ước của $\dfrac{(kn)!}{n!}$.
Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho $(1994!)^{1995} \;\vdots\; 1995^k$.
Chứng minh rằng tích của tất cả các số nguyên từ $2^{1917} + 1$ đến $2^{1991} - 1$ không là số chính phương.
Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương và $a!b! \mid c!$. Chứng minh rằng: $$2^{a+b-c-2} \ge c^2.$$
Chứng minh rằng $C_{2n}^n$ chia hết cho $n + 1$.
─── HẾT ───