Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Ngày thi: 27/08/2026
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn
\[ f(m + f(n)) = f(m) + 9n, \]với mọi số nguyên $m, n$.
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 1$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{u_n + 1}, \; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức $f(x) = \dfrac{x + a}{x + b}$ ($a \neq b$) sao cho dãy $(f(u_n))$ lập thành một cấp số nhân.
Đặt $A = 2026! + 1$ và xét đa thức
\[ P(x) = Ax^{4050} + b_1 x^{4048} + b_2 x^{4046} + \dots + b_{2024} x^2 + A, \]trong đó $b_1, b_2, \dots, b_{2024}$ là các số nguyên. Chứng minh $P(x)$ không có nghiệm hữu tỉ trong mỗi trường hợp sau:
a) $b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{2024} = 2025$.
b) $b_1 + b_3 + \dots + b_{2023} = 2025$ và $b_2 + b_4 + \dots + b_{2024} = 1$.
Xét tập hợp $A$ gồm $n$ số tự nhiên $x_1, x_2, \dots, x_n$ thỏa mãn cả hai điều kiện sau:
i) $1 = x_1 < x_2 < \dots < x_n = 2026$.
ii) Với mọi $k \in \{2, 3, \dots, n\}$, luôn tồn tại $i, j \in \mathbb{N}^*$ với $i < k, j < k$ sao cho $x_k = x_i + x_j$ ($x_i$ có thể bằng $x_j$).
a) Chỉ ra một tập hợp $A$ với $n = 15$.
b) Chứng minh $n \ge 13$.
Ngày thi: 28/08/2026
Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $T_n = 2027^n - 2026^n$.
a) Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n$ là ước của $T_n - 1$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại số nguyên $m$ thỏa mãn $T_n$ là ước của $m^2 + 4053^2$ (trong đó $4053 = 3 \times 7 \times 193$).
Cho tam giác $ABC$ không cân. Đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các đường thẳng $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$, đường thẳng $MB$ cắt đường thẳng $DE$ tại $S$ và đường thẳng $MC$ cắt đường thẳng $DF$ tại $R$.
a) Chứng minh ba điểm $A, R, S$ thẳng hàng.
b) Gọi $d$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AD$ qua đường phân giác trong góc $\widehat{BAC}$. Chứng minh các đường thẳng $RE, SF$ và $d$ đồng quy.
Cho số nguyên dương lẻ $n \ge 2$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Xét một bảng vuông $n \times n$, tại mỗi ô vuông đơn vị ta điền một số nguyên thuộc tập $\{1, 2, \dots, p-1\}$. Một bảng được gọi là “TPĐN” nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) Tích của 4 số trong bất kỳ ô vuông $2 \times 2$ nào trên bảng đều đồng dư với 1 mô-đun $p$.
ii) Tích của tất cả $n^2$ số trên bảng đồng dư với $-1$ mô-đun $p$.
a) Hãy hoàn thành bảng “TPĐN” với $n = 3$ và $p = 5$ sau đây:
| 3 | 2 | 4 |
| 3 | ||
b) Tính số lượng bảng “TPĐN” theo $n$ và $p$ (hai bảng được gọi là khác nhau nếu tồn tại ô vuông đơn vị ở hàng $i$ và cột $j$ trong hai bảng chứa hai số khác nhau).