Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Tháp — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho hàm số $f: [0; 1] \to [-2026; 2026]$ thỏa mãn:
$$f(x) = -\sqrt{1-x} \cdot f\left(\sqrt{(1-x)^3}\right), \quad \forall x \in [0; 1]$$a) Xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi công thức $u_0 = a \in (0; 1)$ và $u_{n+1} = \sqrt{(1-u_n)^3}$. Chứng minh rằng $u_n \in (0; 1)$ và $f(a) = (-1)^n \cdot \sqrt[3]{u_1 u_2 \dots u_n} \cdot f(u_n)$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Chứng minh rằng $f(x) = 0, \forall x \in [0; 1]$.
Cho tam giác $ABC$ ($AC < BC$) và đường phân giác $AD$ ($D \in BC$). Gọi $K$ là trung điểm $AB$, trên tia đối của tia $CB$ lấy $E$ sao cho $\angle ACK = \angle AEC$. Giả sử rằng $CD = CE$.
a) Chứng minh rằng $DA = DB$.
b) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, lấy $J$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $CA = CJ$, gọi $L$ là giao điểm của $DK$ và $AJ$, $M$ là giao điểm của $CL$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$, $G$ là giao điểm của $IM$ và $AB$. Chứng minh rằng 5 điểm $B, L, D, M, G$ cùng thuộc một đường tròn.
Tìm tất cả số nguyên $n \ge 2$ sao cho tồn tại vô hạn bộ $n$ số nguyên dương liên tiếp thỏa mãn tổng của chúng là số chính phương và đồng thời không là lũy thừa của 2.
Có 7 điểm phân biệt được đánh dấu từ 0 đến 6. Một con châu chấu xuất phát từ điểm khác 0 và thực hiện $n-1$ lần nhảy đến $n$ vị trí. Châu chấu có thể nhảy đến ô khác hoặc nhảy lên rồi đáp xuống vị trí mà châu chấu đang đứng, tuy nhiên châu chấu không thể nhảy từ vị trí 2 đến vị trí 0 hoặc từ vị trí 2 đến vị trí 6. Một hành trình được định nghĩa là vị trí của châu chấu qua các bước nhảy. Gọi $u_n$ là số hành trình khác nhau của châu chấu sau $n$ bước nhảy.
a) Tìm công thức truy hồi của dãy $(u_n)$.
b) Chứng minh rằng $u_{2026} \cdot u_{2028}$ là tổng của 2 số chính phương.
Cho số nguyên $n \ge 2$ và ba đa thức $f(x), g(x), h(x)$ có hệ số thực, mỗi đa thức có bậc không vượt quá $n$. Một số thực $x_0$ được gọi là tốt nếu ba số $f(x_0), g(x_0), h(x_0)$ có thể sắp xếp thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó. Giả sử chỉ có hữu hạn số thực tốt.
a) Chứng minh rằng có không quá $3n$ số thực tốt.
b) Chứng minh rằng dấu bằng có thể xảy ra, nghĩa là tồn tại ba đa thức thỏa mãn các điều kiện trên và có đúng $3n$ số thực tốt.
Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Các đường thẳng $BI, CI, DI$ lần lượt cắt $EF$ tại $M, N, K$. Trên các đường thẳng $BM, CN$ lần lượt lấy các điểm $P, Q$ sao cho $CP \parallel BQ \parallel AI$.
a) Chứng minh rằng ba đường tròn $(IPQ), (IMN), (IBC)$ đồng trục.
b) Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $S$. Hai tiếp tuyến tại $E$ và $F$ của đường tròn $(AEF)$ cắt nhau tại $T$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $S$ và vuông góc với $TK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$.
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Trên bảng viết các số $0, 1, 2, \dots, n$. An và Bình luân phiên xóa các số trên bảng, mỗi lượt xóa đúng một số. An đi trước. Trò chơi kết thúc khi tất cả các số đã bị xóa. Gọi $A$ là tổng các số do An xóa và $B$ là tổng các số do Bình xóa.
a) Với $n = 7$, hãy tìm số tập hợp gồm 4 số mà An có thể xóa sao cho $\gcd(A, B) = 1$. Ở đây chỉ xét tập hợp các số An đã xóa, không xét thứ tự xóa.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương lẻ $n$ sao cho An có chiến lược bảo đảm $\gcd(A, B)$ là một số chẵn, bất kể Bình chơi như thế nào.
c) Với $n = 81$, An muốn làm cho $\gcd(A, B)$ lớn nhất có thể, còn Bình muốn làm cho $\gcd(A, B)$ nhỏ nhất có thể. Biết cả hai đều chơi tối ưu, hãy xác định giá trị cuối cùng của $\gcd(A, B)$.
─── HẾT ───