Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho dãy số thực $(u_n)$ thỏa mãn:
$$u_1 = 2, \quad (u_{n+1} + 1)u_n = u_n\left(\sqrt{u_n} + 1\right)^2 + 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*.$$a) Chứng minh rằng $3n - 1 \le u_n < (n + 1)^2, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
b) Chứng minh rằng $\dfrac{1}{u_1} + \dfrac{2}{u_2} + \dots + \dfrac{n}{u_n} > \ln\dfrac{n + 2}{2} - 1, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Cho tam giác $ABC$ không cân có $D, E$ tương ứng là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc $\widehat{BAC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $AC$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $AB$ và $DF$ cắt nhau tại $I$. Gọi $J$ là giao điểm của $AE$ và $DF$; $S$ là giao điểm của $AD$ và $EF$; $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABF$.
a) Chứng minh rằng các điểm $A, B, D, J$ cùng thuộc một đường tròn và $CI$ vuông góc với $SQ$.
b) Giả sử $AE$ và $BF$ cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng ba điểm $C, I, X$ thẳng hàng.
Chứng minh rằng, có thể sắp tất cả các tập con của tập $S = \{1; 2; 3; \dots; 2027\}$ thành một dãy sao cho mỗi cặp gồm hai tập con kề nhau bất kỳ chỉ sai khác đúng một phần tử (tức là một tập thu được từ tập kia bằng cách thêm hoặc bớt một phần tử nào đó).
Xét đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn
$$P(x)\left[P(x^2) - x\right] = P(x^3), \quad \forall x \in \mathbb{R}. \qquad (1)$$a) Giả sử $P(x)$ có $\deg P \ge 1$ thỏa mãn $(1)$. Tính $P(0)$.
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $(1)$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Đường thẳng $IE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm $G$ khác $E$. $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Gọi $N$ là trung điểm của $AC$.
a) Chứng minh rằng $NE = NK$.
b) Đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt các đường thẳng $BE, BN, BG$ tại $S, P, T$ khác $B$. Gọi $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng các điểm $M, N, O, P$ cùng thuộc một đường tròn.
Ký hiệu $(a, b)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a$ và $b$; $\delta(n)$ là tổng các ước nguyên dương của số nguyên dương $n$.
a) Chứng minh rằng $\delta(n)$ là số lẻ khi và chỉ khi tồn tại số tự nhiên $t$ sao cho $\dfrac{n}{2^t}$ là số chính phương.
b) Cho số nguyên dương $k \ge 6$. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn $(n + i, \delta(n + i)) = 1, \forall i \in \{1, 2, \dots, k\}$, hãy giải thích?
─── HẾT ───