Tải bản PDF

Bài thi thứ nhất

Ngày thi: 14 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho $(a_n)$ là dãy số được xác định bởi $a_1 = 2$ và $a_n = 2a_{n-1}^2 - 1, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.

Tính giới hạn:

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2^{n-1}(a_{n-1} + 1)(a_{n-2} + 1)\cdots(a_1 + 1)}{a_n}.$$

Câu 2. (5,0 điểm)

Với số nguyên dương $n \geq 3$, đa thức $P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + a_{n-1}x + a_n$ có các hệ số thực sao cho $a_{n-2} = 0, a_n \neq 0$ và $\dfrac{a_{n-1}}{a_n} > n+1$. Giả sử đa thức $P(x)$ có $n$ nghiệm thực.

Chứng minh rằng $P(x)$ có cả nghiệm dương, nghiệm âm và có nghiệm thuộc khoảng $\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{n+1}\right)$.

Câu 3. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) cố định, nội tiếp đường tròn $(O)$. Một điểm $D$ di chuyển trên cạnh $AB$, khác $A$ và $B$. Đường tròn $(BCD)$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $E$ khác $C$. Gọi $P$ là giao điểm khác $A$ của hai đường tròn $(O)$ và $(ADE)$.

a) Chứng minh rằng đường thẳng $PD$ luôn đi qua một điểm cố định.

b) Giả sử đường thẳng $PD, PE$ cắt đường tròn $(BCD)$ lần lượt tại điểm $Q, R$ khác $D, E$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $QR$. Chứng minh rằng điểm $M$ luôn di chuyển trên một đường tròn cố định.

Câu 4. (5,0 điểm)

Một câu lạc bộ có 99 thành viên, trong đó có một số cặp quen biết nhau (quan hệ quen biết có tính hai chiều). Giả sử số lượng người quen của mỗi thành viên trong câu lạc bộ đều từ 81 đến 90.

a) Chứng minh rằng tồn tại 2 thành viên của câu lạc bộ có ít nhất 67 người quen chung.

b) Chứng minh rằng tồn tại 10 thành viên của câu lạc bộ cùng quen chung một người và có số lượng người quen bằng nhau.

Bài thi thứ hai

Ngày thi: 15 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 5. (6,0 điểm)

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 1$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{a}{\sqrt{1 + a^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{1 + b^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{1 + c^2}} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2(a+b+c)}.$$

Câu 6. (7,0 điểm)

Xét dãy số nguyên dương $(a_n)$ thoả mãn $a_1 > 1$ và $(2^n - 1)a_{n+1}$ là số chính phương với mọi $n \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{Z}^+$ thì $a_n > 1$ và $g(a_{n+1}) > g(a_n)$, trong đó $g(k)$ là ước nguyên tố lớn nhất của số nguyên dương $k > 1$.

Câu 7. (7,0 điểm)

Với số nguyên dương $n \geq 2$, một bảng ô vuông $n \times n$ được gọi là bảng tốt nếu trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên dương thỏa mãn:

(i) Các số nguyên dương đôi một phân biệt;
(ii) Nếu trên mỗi hàng, mỗi cột, ta tính ước chung lớn nhất của $n$ số nguyên dương trong hàng, cột đó thì sau tất cả ta thu được $2n$ kết quả khác nhau.

a) Chứng minh rằng trong mỗi bảng $n \times n$ tốt, luôn có một ô vuông chứa số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng $2n^2$.

b) Một bảng ô vuông $n \times n$ được gọi là tốt tối tiểu nếu tất cả các số nguyên dương trong bảng đều nhỏ hơn hoặc bằng $2n^2$. Chứng minh rằng không tồn tại bảng tốt tối tiểu với $n$ là số lẻ.

c) Xác định tất cả các giá trị $n \geq 2$ để tồn tại bảng $n \times n$ tốt tối tiểu.

─── HẾT ───