Giả sử số nguyên dương $n$ được viết dưới dạng chính tắc là $p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$, trong đó $p_i \in \mathbb{P}, \alpha_i \in \mathbb{N}^*, \forall i = \overline{1, k}$. Hãy chứng minh rằng:
1. $\varphi(p^k) = p^{k-1}(p - 1)$ với mọi số nguyên tố $p$.
2. Nếu $m, n$ là hai số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau thì $\varphi(m)\varphi(n) = \varphi(mn)$.
3. $\varphi(n) = n\left(1 - \dfrac{1}{p_1}\right)\left(1 - \dfrac{1}{p_2}\right)\dots\left(1 - \dfrac{1}{p_k}\right)$.
1. Chứng minh rằng $\varphi(m)\varphi(n) \le \varphi(mn) \le m\varphi(n)$ với mọi số nguyên dương $m, n$. Khi nào đẳng thức xảy ra ở mỗi bất đẳng thức?
2. Chứng minh rằng nếu $n$ là một hợp số thì $\varphi(n) \le n - \sqrt{n}$.
3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \ne 2$ và $n \ne 6$ thì $\varphi(n) \ge \sqrt{n/2}$. Đặc biệt với $n > 6$ thì $\varphi(n) \ge \sqrt{n}$.
1. Chứng minh hệ thức Gauss: với mọi số nguyên dương $n$,
$$\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$$2. Với mỗi số nguyên $n \ge 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng
$$s(n) = \frac{n\varphi(n)}{2}$$3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$:
$$\sum_{k=1}^n \varphi(k) \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor = \frac{n(n + 1)}{2}$$Cho $n, k$ là các số nguyên dương sao cho $n - 1 = k\varphi(n)$. Giả sử $n > 2$ và $n$ là hợp số.
1. Chứng minh rằng $n$ là số square-free (không chứa ước chính phương nào lớn hơn 1) và $n$ có ít nhất 3 ước nguyên tố phân biệt.
2. Giả sử $n$ có không quá 6 ước nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng $k \ge 2$, và nếu $k$ chẵn thì $n$ phải là số lẻ.
Với mỗi số nguyên $n \ge 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $n \ge 2$ thỏa mãn:
$$s(n) = s(n + 2021)$$Với mỗi cặp số nguyên dương $(n, m)$ thỏa mãn $n < m$, gọi $s(n, m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n, m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \ge 2$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1. $\dfrac{s(n, m)}{m - n} \ge \dfrac{s(1, m)}{m}$ với mọi $n = 1, 2, \dots, m - 1$;
2. $2022^m + 1$ chia hết cho $m^2$.
1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\varphi(n) \mid n$.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m, n)$ thỏa mãn:
$$\varphi(mn) = \varphi(m) + \varphi(n)$$Với số nguyên $n \ge 1$, ta đặt $\mu(1) = 1$; $\mu(n) = (-1)^k$ nếu $n = p_1 p_2 \dots p_k$ ($p_1, p_2, \dots, p_k$ là các số nguyên tố phân biệt) và $\mu(n) = 0$ trong các trường hợp còn lại của $n$.
1. Chứng minh:
$$\frac{n}{\varphi(n)} = \sum_{d \mid n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)}$$với $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
2. Gọi $f$ là hàm số xác định trên tập các số nguyên dương thỏa mãn $f(mn) = f(m)f(n)$, với $m, n$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng nếu $\dfrac{n}{\varphi(n)} = \sum_{d \mid n} f(d)$ thì $f(n) = \dfrac{\mu^2(n)}{\varphi(n)}$ với mọi $n$ nguyên dương.
Giả sử $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} 21a = 43\varphi(b) \\ 21b = 43\varphi(c) \\ 21c = 43\varphi(a) \end{cases}$$Chứng minh rằng $a = b = c$.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương. Với mỗi số nguyên dương $c$, xét hàm số $g_c: S \to S$ xác định bởi $g_c(n) = \sum_{i=1}^c \varphi(n + i)$ trong đó với $k \in S$ thì $\varphi(k)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $k$ và nguyên tố cùng nhau với $k$.
1. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $g_4(n) = 10$.
2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $c$ thì không tồn tại $T \in S$ để $g_c(n)$ nhận mọi giá trị nguyên thuộc $(T; +\infty)$.
Cho $n > 1$ và lấy $S(n)$ là tập các số nguyên dương $k$ sao cho phần thập phân của $\dfrac{n}{k}$ ít nhất là $\dfrac{1}{2}$. Chứng minh:
$$\sum_{k \in S(n)} \varphi(k) = n^2$$Kí hiệu $\varphi(n)$ là số các số nguyên dương nhỏ hơn $n$ mà nguyên tố cùng nhau với $n$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho phương trình $\varphi(n) = m$ có ít nhất 2015 nghiệm nguyên dương $n$.
Lấy $n$ là một số nguyên lớn hơn 1 sao cho $n$ là ước của $2^{\varphi(n)} + 3^{\varphi(n)} + \dots + n^{\varphi(n)}$. Nếu $p_1, \dots, p_k$ là tất cả các ước nguyên tố của $n$ và $n$ không có ước chính phương khác 1, chứng minh:
$$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} + \dots + \frac{1}{p_k} + \frac{1}{p_1 p_2 \dots p_k}$$là số nguyên.
Cho dãy $(a_n)_{n \ge 1}$ là dãy số nguyên thoả mãn:
$$\sum_{d \mid n} a_d = 2^n$$với mọi $n$. Chứng minh $n$ chia hết $a_n$ với mọi $n$.