Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 14/09/2026 & 15/09/2026
Ngày thi: 14 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = \dfrac{1}{2}$ và $u_{n+1} = \dfrac{3 - u_n^2}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$.
Chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ $(p, q)$, với $p < q$, thỏa mãn $p^{q^2} + (p+2)^{p^2}$ chia hết cho $q$ và $C_{3pq}^{pq}$ chia hết cho $pq$.
Cho số nguyên $n$ lớn hơn 3 và một đa giác đều $P$ có $2n$ đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác $P$ nếu tất cả các đỉnh của $P$ đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.
Tính số tam giác phủ đa giác $P$ tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác $P$.
Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC < BC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $AA_1, BB_1, CC_1$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.
a) Gọi $A_0, B_0, C_0$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $B_0 O$ và $C_0 A_0$, $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $C_0 O$ và $A_0 B_0$. Hai đường thẳng $XY$ và $B_0 C_0$ cắt nhau tại điểm $Z$. Chứng minh đường thẳng $A_0 H$ vuông góc với đường thẳng $A_0 Z$.
b) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $BB_1, CC_1$. Chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1 HK$.
Ngày thi: 15 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Xét hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1) > 0$ và
$$f(a)f(d) - f(b)f(c) = 1$$với mọi số thực $a, b, c, d$ thỏa mãn $ad - bc = 1$.
a) Chứng minh $f(xy) = f(x)f(y)$ với mọi số thực $x$ và $y$.
b) Chứng minh $f(x) = x$ với mọi số thực $x$.
Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 5 sao cho có vô hạn cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn $xP(x) = yP(y)$ và $x \neq y$.
a) Chứng minh tồn tại số nguyên $C$ có tính chất: Nếu $(x, y)$ là cặp số nguyên thỏa mãn $x \neq y$ và $xP(x) = yP(y)$ thì $|x + y| \leq C$.
b) Chứng minh $P(x)$ có nghiệm nguyên.
Cho số nguyên dương lẻ $n$. Một số nguyên dương $m$ được gọi là số tốt nếu $m^x + x^m$ chia hết cho $n^x + x^n$ với mọi số nguyên dương $x$.
a) Chứng minh nếu $m$ là một số tốt thì $m$ chia hết cho $n$.
b) Tìm tất cả các số tốt.
Cho 9 số thực $a_1, a_2, \dots, a_9$. Khởi đầu với bộ 9 số thực $(a_1, a_2, \dots, a_9)$.
Ở mỗi bước, từ bộ vừa được tạo $(x_1, x_2, \dots, x_9)$, ta tạo ra một bộ mới $(y_1, y_2, \dots, y_9)$ theo quy tắc sau: chọn các số $\epsilon_1, \dots, \epsilon_9 \in \{-1; 1\}$ sao cho biểu thức $\left| \sum_{i=1}^9 \epsilon_i x_i \sqrt{i} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt $y_i = x_i + \epsilon_i \sqrt{i}$ với mọi $i = 1, 2, \dots, 9$.
Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ $(u_1, u_2, \dots, u_9)$ sao cho tồn tại chỉ số $i$ để $|u_i| \geq \dfrac{15}{2}$.
─── HẾT ───