Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Ngày thi: 19/08/2026
Cho dãy số $(x_n)$, với $x_1 = a > 1$ và $x_{n+1} = x_n - \ln x_n, \; \forall n \in \mathbb{N}^*$.
a) Chứng minh dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
b) Đặt $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} (n - k)\ln \sqrt{x_k}, \; \forall n = 2, 3, \dots$ Tính $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{S_n}{n}$.
Xét đa thức $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ với các hệ số nguyên, $n$ là số nguyên dương thay đổi thỏa mãn $n \ge 4, a_n \neq 0$. Biết rằng đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $x^2 - 2x - 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\max \{|a_0|, |a_1|, \dots, |a_{n-1}|\}$.
Cho đường tròn $(O)$ và $BC$ là một dây cung không đi qua tâm. Điểm $M$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $MBC$ nhọn. Tiếp tuyến tại $M$ và $B$ của $(O)$ cắt nhau ở $D$. Đường thẳng $CD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E$. Lấy điểm $F$ thuộc đoạn thẳng $CE$ sao cho $\widehat{CMF} = \widehat{BCD}$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $MF$ và đường tròn $(BEF)$, $J$ là giao điểm thứ hai của $BF$ và đường tròn $(MCF)$.
a) Chứng minh $I, J, O, F$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MBD$. Chứng minh $IJ \perp CP$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{10^n}{n^3 + n^2 + n + 1}$ là một số nguyên.
Ngày thi: 20/08/2026
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $\tau(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.
a) Chứng minh rằng $\tau(n) \le 2\sqrt{n}$, với mọi số nguyên dương $n$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho dãy số $\tau(n), \tau(\tau(n)), \tau(\tau(\tau(n))), \dots$ không chứa bất kì số chính phương nào.
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Lấy điểm $P$ sao cho hai đường phân giác trong của góc $\widehat{PBC}$ và $\widehat{PCB}$ cắt nhau tại điểm $I$ thuộc đoạn thẳng $AH$. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$, $Q$ là giao điểm của $EF$ và $AH$. Lấy lần lượt hai đường thẳng đối xứng với $BC$ qua $AB$ và $AC$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $K$.
a) Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc $P$ của tam giác $PBC$ và đường tròn nội tiếp tam giác $KBC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại cùng một điểm.
b) Chứng minh $P, Q, K$ thẳng hàng.
Một khu vườn trồng cam có dạng bảng ô vuông kích thước $2025 \times 2026$ được chia thành các ô vuông đơn vị. Để chiếu sáng khu vườn về ban đêm, ta đặt các bóng điện ở các đỉnh của các ô vuông đơn vị, mỗi đỉnh đặt không quá một bóng điện. Biết rằng mỗi bóng điện chỉ có thể chiếu sáng toàn bộ các ô vuông đơn vị có chung đỉnh có đặt bóng điện đó.
a) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, trong trường hợp các bóng điện hoạt động bình thường?
b) Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để có thể chiếu sáng toàn bộ khu vườn, kể cả trong trường hợp không may có một bóng điện bất kì bị cháy (mà ta không biết cụ thể là bóng nào)?
c) Trong quá trình trồng cam, chủ vườn quyết định mở rộng khu vườn thành bảng ô vuông có kích thước $2026 \times 2026$. Hỏi cần dùng ít nhất bao nhiêu bóng điện để điều kiện ở câu b) vẫn được thỏa mãn?