Tải bản PDF

Ngày thi thứ nhất

Bài 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = \dfrac{3}{2}$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n^3 - 3u_n + 6}{3}$ với mọi $n \ge 1$.

a) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ tăng và $\lim u_n = +\infty$.

b) Đặt $v_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{u_k^2 - u_k + 3}$. Tìm phần nguyên $[\lim v_n]$.

Bài 2. (5,0 điểm)

Cho đa thức $P(x) = x^{2026} + a_{2025}x^{2025} + \dots + a_1 x + 1$ với $a_i \ge 0$ và $P(x)$ có 2026 nghiệm thực.

a) Chứng minh rằng $P(2) \ge 3^{2026}$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $\sum_{i=1}^{2025} a_i$.

Bài 3. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AM$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $BKDC$ nội tiếp và $K$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$.

b) Đường thẳng qua $K$ vuông góc với $AK$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $P, Q$. Chứng minh rằng $KP = KQ$.

Bài 4. (5,0 điểm)

Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $p \mid (2^n + n)$.

Ngày thi thứ hai

Bài 5. (5,0 điểm)

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P = \dfrac{ab}{\sqrt{a^2 + 3b^2}} + \dfrac{bc}{\sqrt{b^2 + 3c^2}} + \dfrac{ca}{\sqrt{c^2 + 3a^2}}$$

Bài 6. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x^3 + y^3) = x^2 f(x) + y f(y^2), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Bài 7. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $AI$ cắt $BC$ tại $K$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AI$ cắt $BC$ tại $P$.

a) Chứng minh rằng $(PK, BC) = -1$ và $PD \cdot PM = PB \cdot PC$.

b) Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $EF$ cắt $AI$ tại $N$. Chứng minh rằng $MN \perp AI$.

Bài 8. (5,0 điểm)

Một giải bóng đá có $n$ đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (mỗi đội gặp nhau đúng 1 trận, thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm). Kết thúc giải đấu, tổng điểm của tất cả các đội là $S$.

a) Giả sử $n = 8$ và $S = 70$. Chứng minh rằng có ít nhất 2 trận hòa.

b) Với $n = 2026$, tìm số trận hòa lớn nhất có thể xảy ra sao cho không có 2 đội nào có cùng số điểm.

─── HẾT ───