Giả sử với $n$ nguyên dương, tồn tại hoán vị $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ của $n$ số nguyên dương đầu tiên sao cho $a_1, a_1a_2, \dots, a_1a_2\dots a_n$ lập thành hệ thặng dư đầy đủ modulo $n$.
1. Chỉ ra một hoán vị thỏa mãn với $n = 4, n = 7$?
2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn đề bài.
Tìm số dư của phép chia $$T = \prod_{1 \le x \le 37} (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)$$ khi chia cho 37.
Cho $m_1, m_2, \dots, m_k$ là những số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau, $b$ là một số nguyên tùy ý. Đặt $m_1m_2\dots m_k = m$ và $a_i = \frac{m}{m_i}$ ($i = 1, 2, \dots, k$).
1. Chứng minh rằng khi $x_i$ chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo $m_i$ ($i = 1, 2, \dots, k$) thì $$a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_kx_k + b$$ chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo $m$.
2. Chứng minh rằng khi $x_i$ chạy qua một hệ thặng dư thu gọn theo modulo $m_i$ ($i = 1, 2, \dots, k$) thì $$a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_kx_k + b$$ chạy qua một hệ thặng dư thu gọn theo modulo $m$.
Cho $n > 2$ là một số nguyên dương, $m = \frac{n(n+1)}{2}$. $S$ là một tập con có $n$ phần tử của $\mathbb{Z}$. Hỏi tập hợp $S + S = \{a + b \mid a, b \in S\}$ có thể là một hệ thặng dư đầy đủ modulo $m$ được không?
Cho các số nguyên không âm $a_1 < a_2 < \dots < a_{101} < 5050$. Chứng minh rằng tồn tại 4 số nguyên phân biệt $a_k, a_h, a_m, a_n$ thỏa mãn $$a_k + a_h - a_m - a_n \equiv 0 \pmod{5050}.$$
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại số tự nhiên gồm $n$ chữ số đều là số lẻ và chia hết cho $5^n$.
1. Cho $p$ là một số nguyên tố có dạng $3n + 2$. Đặt $$S = \{y^2 - x^3 - 1 \mid x, y \in \mathbb{Z}, 0 \le x, y \le p - 1\}.$$ Chứng minh rằng có nhiều nhất $p$ phần tử trong $S$ chia hết cho $p$.
2. Cho $p$ là một số nguyên tố có dạng $kl + 2$. Đặt $$S = \{y^j - x^k - \alpha \mid j, k \in \mathbb{Z}, 0 \le x, y \le p - 1\}.$$ Chứng minh rằng trong tập $S$ có nhiều nhất $p$ phần tử chia hết cho $p$.
Cho số nguyên dương lẻ $n > 1$ và các số nguyên $c_1, c_2, \dots, c_n$. Với mỗi hoán vị $a = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ của các số $\{1, 2, \dots, n\}$, ta kí hiệu $$S(a) = \sum_{i=1}^n a_i \cdot c_i.$$
1. Chứng minh rằng tồn tại hai hoán vị $a \ne b$ của $\{1, 2, \dots, n\}$ sao cho $S(a) - S(b) \;\vdots\; n$.
2. Nếu thay $n$ bởi $n!$ thì bài toán còn đúng không?
Gọi $P$ là tích các số nguyên tố không vượt quá 2022. Số nguyên dương $n$ được gọi là tốt nếu:
i) $n$ chỉ có ước nguyên tố không vượt quá 2022.
ii) Không tồn tại các số nguyên dương $a, d$ sao cho $a, a + d, \dots, a + 2022d < n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh rằng $2022P$ là số tốt.
b) Chứng minh rằng $2022P$ là số tốt lớn nhất.
Cho $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ là một hoán vị của tập $\{1, 2, \dots, n\}$. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $n + 1$ số $$0, a_1, a_1 + a_2, a_1 + a_2 + a_3, \dots, a_1 + a_2 + \dots + a_n$$ lập thành một hệ thặng dư đầy đủ modulo $n + 1$.
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $a_1, a_2, \dots, a_{p-1}$ là $p - 1$ số nguyên không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng trong các tổng $$T = k_1a_1 + k_2a_2 + \dots + k_{p-1}a_{p-1},$$ trong đó $k_i \in \{1, -1\}$ ($i = 1, 2, \dots, p - 1$), có ít nhất một tổng chia hết cho $p$.
─── HẾT ───