Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút
Xét đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $P(1) = \sqrt{2}, P(-1) = -\sqrt{2}$ và
\[ (P(x))^2 \le x^6 + 1, \quad \forall x \in \mathbb{R} \]a) Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có nghiệm thực và có bậc nhỏ hơn 4.
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn đề bài.
Cho dãy số nguyên $(u_n)$ được xác định bởi $u_1 = 3, u_2 = 7$ và
\[ u_{n+2} = 3u_{n+1} - u_n, \quad \forall n \ge 1 \]Cho $N$ là hợp số lẻ không chia hết cho 3 và $u_N \equiv 3 \pmod N$. Đặt $M = \dfrac{u_N}{3}$.
a) Chứng minh rằng $u_N$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng $M \equiv 1 \pmod{4N}$ và $M$ là một hợp số.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Lấy điểm $X$ cố định nằm trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Một đường thẳng $d$ chuyển động qua $X$. Các đường thẳng $d_A, d_B, d_C$ lần lượt đối xứng với $d$ qua $BC, CA, AB$. Gọi $A'$ là giao điểm của $d_B$ và $d_C$, $B'$ là giao điểm của $d_A$ và $d_C$, $C'$ là giao điểm của $d_A$ và $d_B$.
a) Chứng minh rằng $AA', BB', CC'$ đồng quy tại một điểm nằm trên $(O)$.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A'B'C'$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho số nguyên dương $n \ge 3$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Với mỗi $S$ là tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu $l_p(S)$ là số các lũy thừa cơ số $p$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba phần tử đôi một khác nhau thuộc $S$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của $l_p(S)$ theo $n, p$.
Cho số nguyên dương $n$. Hai bạn $A$ và $B$ cùng tham gia một trò chơi gồm $n$ lượt. Mỗi lượt, họ độc lập giải cùng một câu đố và kết quả là mỗi người chơi hoặc giải được hoặc không giải được. Đặt $c_A(i), c_B(i)$ lần lượt là tổng số câu đố mà $A, B$ giải được trong $i$ lượt đầu tiên. Hỏi có bao nhiêu kịch bản có thể xảy ra để $A$ đạt giải đặc biệt, nghĩa là sau khi kết thúc toàn bộ $n$ lượt chơi, $A$ không chỉ giải được nhiều câu đố hơn $B$ ($c_A(n) > c_B(n)$), mà còn chưa bao giờ để $B$ bỏ xa quá một câu trong suốt quá trình ($\forall i = 1, 2, \dots, n: c_B(i) - c_A(i) \le 1$)?