Tải bản PDF

Vòng 1

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = a > 0$ và $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n^2}$ với mọi $n \ge 1$.

a) Chứng minh rằng $\lim u_n = 0$.

b) Chứng minh rằng $\lim (\sqrt{n} u_n) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Bài 2. (4,0 điểm)

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn:

$$P(x^2 - 2x) = [P(x - 1)]^2 - 1, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Bài 3. (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $EF$ cắt $BC$ tại $P$. Đường thẳng qua $D$ song song với $EF$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $Q, R$.

a) Chứng minh rằng $P$ nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính $AH$ và $(O)$.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$.

Bài 4. (4,0 điểm)

Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k + 1$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương $x, y$ sao cho $x^2 + y^2 = p$.

Bài 5. (4,0 điểm)

Cho tập hợp $X = \{1, 2, \dots, 2026\}$. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho trong mọi tập con có $k$ phần tử của $X$, luôn tồn tại hai phần tử phân biệt $a, b$ thỏa mãn $a + b$ là một lũy thừa của 2.

Vòng 2

Bài 6. (5,0 điểm)

Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{a^2}{a + 2b^2} + \dfrac{b^2}{b + 2c^2} + \dfrac{c^2}{c + 2a^2} \ge 1$$

Bài 7. (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f(x f(y) + f(x)) = 2f(x) + xy, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Bài 8. (5,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D \ne A$). Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $I$ trên $AB, AC$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $T$.

a) Chứng minh rằng $TI \perp AD$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $DM$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Chứng minh rằng $T, I, K$ thẳng hàng.

Bài 9. (5,0 điểm)

Cho bảng vuông $8 \times 8$. Người ta đặt các quân cờ domino kích thước $1 \times 2$ (mỗi quân cờ phủ đúng 2 ô vuông kề nhau) lên bảng sao cho không có hai quân cờ nào đè lên nhau.

a) Có thể phủ kín bảng ô vuông bị khuyết 2 ô ở 2 góc đối diện hay không?

b) Tìm số quân cờ domino lớn nhất có thể đặt lên bảng sao cho không thể đặt thêm bất kỳ quân domino nào nữa mà không bị đè lên quân cờ đã có.

─── HẾT ───