Trường THPT Chuyên KHTN — ĐHKHTN — ĐHQGHN — Năm học 2026-2027
Thời gian làm bài: 180 phút / ngày thi
Cho dãy số nguyên $(x_n)$ xác định bởi $x_1 = x_2 = 1$ và
\[ x_{n+2} = 3x_{n+1} + 2x_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \]a) Tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $17x_n^2 - (-2)^{n+2}$ là số chính phương.
b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho $p \nmid x_n$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn
\[ f(xy) + 2026 f(x+y) = f(xf(y) + 2026 f(y)), \quad \forall x, y \in \mathbb{Q}^+. \]Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Điểm $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $AD \not\perp BC$. Lấy hai điểm $E, F$ lần lượt thuộc $AB, AC$ sao cho $EF \parallel BC$. Qua $E, F$, lần lượt kẻ các đường thẳng song song với $AD$, cắt $BC$ tại $H, G$. Gọi $Q$ là giao điểm của $AD$ và đường trung trực của $BC$; điểm $P$ nằm trên tia $AQ$ sao cho
\[ AP \cdot AQ = AD^2. \]a) Chứng minh rằng $Q$ nằm trên trục đẳng phương của $(BHE)$ và $(CGF)$.
b) Chứng minh rằng $P$ nằm trên trục đẳng phương của $(BHF)$ và $(CGE)$.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình
\[ 2^x \cdot 7^y = 1 + 3^z \cdot 5^t \cdot 13^u. \]Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn $(J)$ bất kì đi qua $I$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$. Các đường thẳng $AI, BI, CI$ lần lượt cắt $(J)$ tại $D, E, F$ khác $I$.
a) $(ATD)$ cắt lại $AC, AB$ lần lượt tại $N, P$. Chứng minh rằng $PN$ đi qua trực tâm tam giác $DEF$.
b) Gọi $A_1, A_2$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $DE, DF$; $B_1, B_2$ lần lượt là các điểm đối xứng của $B$ qua $EF, ED$; $C_1, C_2$ lần lượt là các điểm đối xứng của $C$ qua $FD, FE$. Chứng minh rằng $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ nằm trên một tiếp tuyến của $(J)$.
Với $n$ nguyên dương, cho $n$ tập hữu hạn các số thực $S_1, S_2, \dots, S_n$ rời nhau đôi một, thỏa mãn $|S_i| = s_i \ge n + 1, \; 1 \le i \le n$. Một đoạn $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$ được gọi là đoạn chuẩn bậc $i$ nếu $a, b \in S_i$. Chứng minh rằng có tối thiểu
\[ \prod_{i=1}^n (s_i - n) \]cách chọn $n$ đoạn chuẩn đại diện cho $n$ bậc khác nhau và chúng đôi một không giao nhau.
Cho số nguyên $n \ge 3$. Hỏi có bao nhiêu dãy số $(u_1, u_2, \dots, u_n)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $u_i \in \{0, 1, 2\}$ với mọi số nguyên $i$ thỏa mãn $1 \le i \le n$;
ii) Không tồn tại số nguyên $k$ thỏa mãn $1 \le k \le n-2$ và
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m, n)$ thỏa mãn
\[ \pi(m) - \pi(n) = \frac{(m-2)\varphi(n)}{n}, \]trong đó $\pi(k)$ là số các số nguyên tố không vượt quá $k$, còn $\varphi(k)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $k$ và nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai điểm $P, Q$ nằm trong tam giác $ABC$ thỏa mãn
\[ \angle PBA = \angle PCA = \angle QBC = \angle QCB. \]Đường thẳng $BP$ cắt $AC$ tại $E$, đường thẳng $CP$ cắt $AB$ tại $F$. Dựng hình bình hành $PEKF$. Đường thẳng $KP$ cắt $BC$ tại $L$. Chứng minh rằng các đường tròn $(AKP), (LKQ)$ và $(O)$ cùng đi qua một điểm.
Cho hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
a) Giả sử $f$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
$$f(x + 2026) \le f(x) + 2026, \quad f(x + 2027) \ge f(x) + 2027, \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$Chứng minh rằng $f(x + 1) = f(x) + 1, \forall x \in \mathbb{R}$.
b) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn hai điều kiện ở câu a) và $f(x^2) = [f(x)]^2, \forall x \in \mathbb{R}$.
Một hàm số $a: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$ được gọi là hàm tự đếm nếu với mọi $k \in \mathbb{Z}^+$, giá trị $a(k)$ đúng bằng số các số nguyên dương $n \le k$ thỏa mãn
$$k \equiv n \pmod{a(n)}.$$a) Chứng minh rằng hàm tự đếm như vậy là duy nhất và tính $a(2026)$.
b) Tìm các cặp số nguyên dương $(k, m)$ thỏa mãn $a(k) = m$ và $m \mid k$.
Cho hình hộp kích thước $7 \times 7 \times 112$, gồm 5488 khối lập phương đơn vị. Mỗi khối lập phương được gán một số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi cách gán, có thể chọn nhiều hơn 2027 hình hộp con (có cấu tạo từ các khối lập phương đơn vị) có độ dài các cạnh lớn hơn 1 sao cho trong mỗi hình, tám khối lập phương ở các góc được gán các số có cùng tính chẵn lẻ.
─── HẾT ───