Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lâm Đồng — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 15/09/2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1 = 2027$ và $u_n = \dfrac{1}{2}\left(u_{n-1} + \dfrac{2026}{u_{n-1}}\right), \forall n \geq 2$.
a) Chứng minh rằng $u_n \geq \sqrt{2026}$ với mọi $n \geq 1$.
b) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại ba số nguyên $x_1, x_2, x_3$ sao cho $P(x_1) = 2025, P(x_2) = 2026$ và $P(x_3) = 2027$.
a) Chứng minh rằng $x_2$ là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình $P(x) = 2026$.
b) Chứng minh rằng phương trình $P(x) = 2029$ có không quá một nghiệm nguyên.
Cho $A(n) = 10^{10^n} - 9^{9^n}$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
a) Tìm một giá trị của $n$ sao cho $A(n)$ có hai chữ số tận cùng giống nhau.
b) Chứng minh rằng nếu $A(n)$ có $k$ chữ số tận cùng giống nhau thì $k \leq 4$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB < AC$) ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC, CA, AB$. Đường thẳng $AI$ cắt $DE, DF$ lần lượt tại $P, Q$. Đường tròn đường kính $PQ$ cắt $BC$ tại $M, N$.
a) Chứng minh rằng $BP$ song song với $CQ$.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.
Bạn Hải tô màu $n$ số nguyên dương đầu tiên bởi đúng $k$ màu, mỗi số chỉ tô đúng một màu ($k \leq n$). Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho với mọi cách tô luôn tồn tại hai số được tô cùng màu mà hiệu của chúng là số chính phương trong mỗi trường hợp sau:
a) $k = 2$.
b) $k = 3$.
─── HẾT ───