Tải bản PDF

Câu 1. (5,0 điểm)

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1 = a \neq 2$; $x_{n+1} = \dfrac{x_n^2 - 3}{2x_n - 4}, \; \forall n \ge 1$.

a) Chứng minh rằng với $a = 4$, dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

b) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn với mọi $a > 0; a \neq 2$.

Câu 2. (3,0 điểm)

Cho các số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z \ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[ P = \frac{x^2}{yz + \sqrt{1 + x^3}} + \frac{y^2}{zx + \sqrt{1 + y^3}} + \frac{z^2}{yx + \sqrt{1 + z^3}} \]

Câu 3. (4,0 điểm)

Cho đa thức $S(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots + a_n$ với $n \ge 1, a_0 \neq 0$, có $n$ nghiệm thực $x_1, x_2, \dots, x_n$.

a) Chứng minh rằng

\[ \frac{a_1^2 - 2a_0 a_2}{n a_0^2} \ge \sqrt[n]{\left(\frac{a_n}{a_0}\right)^2} \]

b) Giả sử các hệ số $a_i \in \{-1; 1\}$ với mọi $i = 0, 1, 2, \dots, n$, chứng minh rằng bậc của đa thức $S(x)$ không quá 3, từ đó hãy tìm tất cả các đa thức thỏa mãn khi $n = 3$.

Câu 4. (5,0 điểm)

Cho $(O)$ cố định và dây cung $BC$ của $(O)$ cố định, $BC$ không phải đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ của $(O)$. Gọi $M, N$ lần lượt là các trung điểm của $AC, AB$; gọi $Q, P$ lần lượt là hình chiếu của $M, N$ lên đường phân giác của $\widehat{BAC}$. Gọi $BP \cap AC = Y; CQ \cap AB = Z$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $BZYC$ nội tiếp.

b) Gọi $X = BP \cap CQ$. Chứng minh rằng $AX$ đi qua điểm cố định khi $A$ di chuyển.

Câu 5. (3,0 điểm)

a) Cho số nguyên dương $m$ thỏa mãn $m = p^\alpha$, với $p$ nguyên tố và $\alpha$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng mọi số nguyên $n$ đều có thể biểu diễn dưới dạng $n = a + b$, trong đó $a$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với $m$ và $b$ là một số nguyên sao cho $b^2 \equiv b \pmod m$.

b) Chứng minh rằng khẳng định trên vẫn đúng với mọi số nguyên $m > 1$.