Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 15/09/2026 & 16/09/2026
Ngày thi: 15 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Giả sử $a, b, c$ là ba trong bốn nghiệm của đa thức:
$$f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x - 2.$$a) Chứng minh rằng $abc$ là nghiệm của đa thức $g(x) = x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x - 8$.
b) Chứng minh rằng $ab$ là nghiệm của đa thức $h(x) = x^6 - 2x^5 - 14x^4 + 8x^3 + 28x^2 - 8x - 8$.
Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $BC$; $K, L$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $IB$ và $IC$. Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI$ cắt $IB, IC$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $DE, DF$ và $EF$.
a) Chứng minh rằng $KL \parallel BC$ và bốn điểm $K, L, X, Y$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là tâm của hai đường tròn $(MKL)$ và $(DIP)$. Chứng minh rằng giao điểm của $(MKL)$ và $(DIP)$ thuộc đường tròn đường kính $O_1 O_2$.
Với mỗi số nguyên dương $n$, ta gọi một hoán vị $(a_0, a_1, \dots, a_{n-1})$ của các số $0, 1, \dots, n-1$ là tốt nếu $a_i + i$ là số chính phương với mọi $i = 0, 1, \dots, n-1$.
a) Chứng minh rằng với $n = 2026$, trong một hoán vị tốt $(a_0, a_1, \dots, a_{2025})$, luôn tồn tại ít nhất một chỉ số $i$ sao cho $a_i + i$ chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại ít nhất một hoán vị tốt.
Ngày thi: 16 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$xf(2x + xy) = xf(x) + f(x^2)f(y+1), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$$Xét dãy số $(a_n)$ xác định bởi: $a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6$ và
$$a_{n+4} = 2a_{n+3} + a_{n+2} - 2a_{n+1} - a_n, \quad \text{với mọi } n \geq 0.$$a) Chứng minh rằng $a_n$ chia hết cho $n$ với mọi số nguyên dương $n$.
b) Với mỗi số nguyên dương $m$, kí hiệu $\varphi(m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Chứng minh rằng $\varphi\left(\dfrac{a_{2027}}{2027}\right)$ là một số chia hết cho 4.
Cho tứ giác $ABCD$ không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$; $F$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(FCD)$ cắt nhau tại $S$. Gọi $P$ là giao điểm của $SF$ và $CD$; $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $H$ là hình chiếu của $E$ trên $SF$; $K$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn $(ABE)$ và $(CDE)$.
a) Chứng minh rằng các điểm $K, P, M, H$ cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là $(\omega)$.
b) Tiếp tuyến tại $P$ của đường tròn $(\omega)$ cắt đường tròn $(CDE)$ tại $X, Y$. Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của $KP$ với đường tròn $(CDE)$. Chứng minh rằng $EQ$ là tia phân giác của góc $\widehat{XEY}$.
─── HẾT ───