Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình — Năm học 2026-2027
Ngày thi: 15/09/2026 & 16/09/2026
Ngày thi: 15 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} x_1 = 1, \\ x_{n+1} = (n^2 + 1)x_1 x_2 \dots x_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}$$Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, đặt $y_n = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dots + \dfrac{1}{x_n}$.
a) Chứng minh rằng $x_n \geq 2^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$ và dãy số $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh rằng $\lim_{n \to +\infty} y_n$ là một số vô tỉ.
Cho $n$ là một số nguyên dương lẻ. Xét các hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x)f(y+x) = x^n f(f(y)) + (f(x))^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (1).$$a) Giả sử $f$ không là hàm hằng. Chứng minh rằng:
i) $f(x) = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$;
ii) $f$ là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn (1).
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, có đường cao $AH$. Gọi $X, Y$ là hai điểm phân biệt thay đổi trên cạnh $BC$ sao cho $\widehat{CAX} = \widehat{BAY}$; $K, S$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $AX, AY$; $T, L$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $AX, AY$.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AH, TL, SK$ đồng quy.
b) Chứng minh rằng giao điểm của $KL$ và $ST$ thuộc một đường thẳng cố định khi $X, Y$ thay đổi trên cạnh $BC$.
Cho các số nguyên dương $m, n$. Xét một bảng ô vuông kích thước $3m \times 6n$ (gồm $3m$ hàng và $6n$ cột). Trên bảng đó một số ô có màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi $T$ là số bộ ba $(C_1, C_2, C_3)$ gồm các ô, trong đó hai ô đầu tiên nằm trên cùng một hàng và hai ô cuối cùng nằm trên cùng một cột, với $C_1$ và $C_3$ là ô trắng còn $C_2$ là ô đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của $T$.
Ngày thi: 16 tháng 09 năm 2026 — Thời gian làm bài: 180 phút
Cho số nguyên dương $n$. Xét các số thực $x_1, x_2, \dots, x_n$ thoả mãn $|x_i| \leq 1, \forall i = 1, 2, \dots, n$, và $x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0$. Với mỗi $k \in \{1, 2, \dots, n\}$, đặt $S_k = x_1 + 2x_2 + \dots + kx_k$.
a) Chứng minh rằng tồn tại các số $p, q \in \{1, 2, \dots, n\}$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $S_p \leq 0$ và $|S_q| \leq \dfrac{2q+1}{4}$.
b) Khi $n \geq 3$, chứng minh rằng tồn tại các số thực $x_1, x_2, \dots, x_n$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán sao cho với mọi $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ ta đều có $|S_k| \geq \dfrac{2k+1}{4}$.
a) Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\sigma(n)$ là tổng các ước dương của $n$. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n$ là ước của $2^{\sigma(n)} - 1$.
b) Cho dãy số nguyên dương $(a_n)_{n \geq 1}$ và dãy các số nguyên tố $(p_n)_{n \geq 1}$ thoả mãn với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, ta có $p_n \mid a_n$ và $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p_n} (p_n^{1013} - 1)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m$ chia hết cho 2026.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$, có ba đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Các đoạn thẳng $AG, BG, CG$ theo thứ tự cắt đường tròn $(DEF)$ tại $I, J, K$. Các đường tròn $(AID), (BJE), (CKF)$ cắt lại đường tròn $(O)$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $X, Y, Z$.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AX, BY, CZ$ đồng quy tại một điểm trên đường thẳng $OH$.
b) Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $(AHB)$ tại điểm thứ hai là $N$; đường thẳng $AB$ cắt đường tròn $(AHC)$ tại điểm thứ hai là $M$. Đường tròn $(HMN)$ cắt lại các đường thẳng $AB, AC$ tại các điểm thứ hai tương ứng là $S, T$. Chứng minh $ST$ vuông góc với $OH$.
─── HẾT ───